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一眨眼，已“不见”两三月！明日中秋，佳节“再见”，提前祝福各位朋友们阖家欢乐，幸福永远！ 这两个月，其实也没闲着，忙里抽闲，“一不小心”把2021年来自全国各地近150份中考试卷全刷完了，爽歪歪！  这也是为写东西作积累，譬如今天这篇，后面会涵盖2021年几乎所有涉及“三大结构”的中考压轴题，如济南、毕节、成都、滨州、宿迁、深圳、威海、烟台、徐州等地（因为都刷，所以自信！哈哈！）。 还有很多朋友不断来问，《广猛说题》何时更新？在此统一回答：暂不考虑！但2021年中考题我会尽可能多整理些专题化、题组化的小文章发到公众号上来，像今天这篇（当然不可能都这么“硬”，主要今天的实在太“硬”，在两个月的刷题基础上，几乎又耗费了一个月的时间整理成文）！ 《广猛说题-中考数学压轴题破解之道》以及《广猛说题习题集》仍在淘宝热售！淘宝搜索“广猛说题”即可找到相应链接额！（先做个小广告，见谅）  废话不说，硬文呈上（两元付费设置，一是辛勤汗水，二是版权维护，敬请谅解！设置付费，好像就不能一键转载了或者盗用）： 笔者今年四月份在河南郑州作题为《基于图形结构视角下的几何解题研究》的讲座，预测今年中考应该会有一些地区以此类结构（所谓“三大结构”）为压轴题命题素材，因为这样的“三大结构”实用性很广，并且结构精巧，结论通用，其研究路径也极其符合研究之道（从特殊到一般）．果不其然！2021年中考已落下帷幕有一段时间，笔者刷完来自全国各地近150份试卷，惊喜地发现了许多地区对所谓“三大结构”有所考查，并且基本都是压轴题级别．现整理如下，以期对2022年参加中考的学子以及来自一线的教师有所帮助： 一、结构再归纳 首先，对所谓“三大结构”作简要归纳，其详细来源可参见前文《基于图形结构视角下的几何解题研究》．前文主要由分到总（即有特殊到一般）的方式将这三个结构娓娓道来，本文拟由总到分（即由一般到特殊）的方式展开： （一）“手拉手”结构  这是最一般化的所谓“手拉手”结构，即所谓“旋转相似（必成对）”结构．特别地，当α及k取一些特殊值时，可以得到一些常见的特殊化结构． 2．特殊结构 特别地，当k＝1时，即△ABC与△ADE均为等腰三角形时，会出现常见的“旋转全等”结构．在此基础上，当α再取一些特殊角时，又会出现更加常见的全等结构，具体如下：    当k取一些不为1的特殊值，α取一些特殊角时，也会出现一些常见的“旋转相似”结构．具体如下：     3．结构证明 关于该结构的证明方法，以一般结构举例如下：  类比上述探究过程，我们来研究第二个结构： （二）“脚蹬脚”结构 1．一般结构 2．特殊结构 特别地，当k＝1时，即△ABC与△ADE均为等腰三角形时： 当k取一些不为1的特殊值，α取一些特殊角时： 3．结构证明 关于该结构的证明方法，仍一般结构举例如下： 下面给出由中点联想到的三种常见的处理策略： 注：以上证明过程中，用到了定性分析，即判断三角形形状确定．若给出一些具体的常值（如前述的特殊结构），则可相应的定量表示．下同，不再赘述！ 注：证法三看似麻烦，还要用到证法一中的一些辅助线及结论，但若给出一些具体的常值（如前述的特殊结构），实际上会简捷很多，不需要构造P、Q两点即可解决．考虑到中点应用策略的完整性，这里仍给出了详细的解释．事实上，图中还有一些有趣的结论值得思考，譬如△BCM∽△EDN，△ACM∽△EAN（后面会有相关拓展）． 继续类比探究第三个结构： （三）“头顶头”结构 2．特殊结构 特别地，当k＝1时，即△ABC与△ADE均为等腰三角形时： 当k取一些不为1的特殊值，α取一些特殊角时： 3．结构证明 关于该结构的证明方法，仍以一般结构为例，具体如下： 证明：关于结论①，给出下面两种证法： 关于结论②，给出下面两种证法： 关于结论③，类比结构二的证明思路，给出有关中点常见的三种解题策略： 至此，这所谓“三大结构”由总到分（即由一般到特殊）地完美呈现并得到较为详细的逻辑证明．“结构决定性质”，正如化学中常见的金刚石与石墨相比，构成元素完全相同，但就是因为排列结构不同，呈现了完全不同的性质与用途．在数学解题中何尝不是如此，可以说所有的几何图形（含立体图形）都是由点、线、面组成的，但因其排列结构不同，故而解题方法与策略也可能截然不同．所以，分析图形时，理应从图形结构入手，洞悉其本质结构，必要时构造完善图形结构，从而获得一类问题的通性通法． （四）“名称”由来 个人觉得，所谓“名称”不是回事，如果较真，肯定有万万不妥的．但若形成一种“商量”或“共识”，“名称”的作用也仅仅是起到方便交流之效．否则，遇到这种结构时，总不能说“就是那个结构”，然后对方就明悟了！所以，对于这里给出的所谓“名称”，不必较真，权当一种相互的约定，以便达到交流之效．当然，它对于解题分析时洞悉结构，找到解题秘钥也有一定的作用．因此，这里有必要将所谓“三大结构”的“名称”由来作点阐释． 数学中很多概念都是有象形意义的，这是不可否认的！那么，这里“三大结构”的所谓“名称”也有一定的象形意义． 以等腰三角形为例： 不妨对比人的四肢，如图，将等腰三角形的顶角顶点看作“头”，两个底角顶点看作两只“脚”，两条腰看作两只“手”，那么前面所谓“三大结构”的“名称”都很好理解了． 如图，所谓“手拉手”结构，是有公共的顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形，“两只手”互牵，从而形成一对新的旋转（顺）相似（含全等）三角形． 如图，所谓“脚蹬脚”结构，是有一个公共的底角顶点且顶角互补的两个等腰三角形，取另外两个底角顶点连线段的中点，从而形成两顶角顶点分别与该中点连线段之间特殊的数量关系与位置关系（即这三个点之间形成了一个形状确定的三角形）． 如图，所谓“头顶头”结构，是有公共的顶角顶点且顶角互补的两个等腰三角形，分别连接两对底角顶点的线段，取其中一条线段的中点，从而形成经过顶角顶点与该中点的连线段与另一条线段之间的数量关系与位置关系． 由此看来，所谓“手拉手”（大手牵小手）、“脚蹬脚”（大脚蹬小脚）、“头顶头”（大头顶小头）的称呼并非空穴来风，有其一定的合理性，方便记忆与理解，容易操作与应用． 模型已经建立，结构已经归纳，下面将以2021年来自全国各地的中考数学压轴题为素材，尽情揭示这“三大结构”的应用，体现图形结构研究的价值与收获． 二、结构应用 无独有偶，或许是命题人之间的心有灵犀，2021年毕节市第26题（也是解答倒二题）竟也考了一个极其相似的结构： 简解：（1）由题可证△ABD≌△ACE，则BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，从而易证∠BFC＝∠BAC＝90，即BD⊥CE； （2）当∠BDC＝135°时，∠CDF＝45°，则△CDF为等腰直角三角形；同题1，易证△BCD∽△ACF，则∠AFC＝∠BDC＝135°，故∠AFD＝∠CDF＝45°，从而AF∥CD． |
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