第22章 二次函数测试卷(3) 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1.(3分)在下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是( ) A.y=x2 B.y= C.y=kx2 D.y=k2x 2.(3分)是二次函数,则m的值为( ) A.0,﹣2 B.0,2 C.0 D.﹣2 3.(3分)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为( ) A. B. C. D. 4.(3分)某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出下面的表格:
根据表格提供的信息,下列说法错误的是( ) A.该抛物线的对称轴是直线x=﹣2 B.该抛物线与y轴的交点坐标为(0,﹣2.5) C.b2﹣4ac=0 D.若点A(0.5,y1)是该抛物线上一点.则y1<﹣2.5 5.(3分)关于抛物线y=x2﹣2x+1,下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.与x轴有两个重合的交点 C.对称轴是直线x=1 D.当x>1时,y随x的增大而减小 6.(3分)已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是( ) A.﹣1<x<4 B.﹣1<x<3 C.x<﹣1或x>4 D.x<﹣1或x>3 7.(3分)二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.(3分)已知关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=﹣2,点(1,3)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的一个点,则下列四个点中一定在该抛物线上的是( ) A.(2,3) B.(0,3) C.(﹣1,3) D.(﹣3,3) 9.(3分)二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a<;④b>1.其中正确的结论是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11.(3分)已知函数是关于x的二次函数,则m的值为 . 12.(3分)如图是二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=mx+n(m≠0)的图象,当y2>y1,x的取值范围是 . 13.(3分)若二次函数的图象开口向下,且经过(2,﹣3)点.符合条件的一个二次函数的解析式为 . 14.(3分)已知点P(m,n)在抛物线y=ax2﹣x﹣a上,当m≥﹣1时,总有n≤1成立,则a的取值范围是 . 15.(3分)二次函数y=ax2(a>0)的图象经过点(1,y1)、(2,y2),则y1 y2(填“>”或“<”). 16.(3分)二次函数y=x2+2x+2的最小值为 . 三、解答题(共8题,共72分) 17.(8分)已知抛物线经过点(2,3),且顶点坐标为(1,1),求这条抛物线的解析式. 18.(8分)已知函数y=u+v,其中u与x的平方成正比,v是x的一次函数, (1)根据表格中的数据,确定v的函数式; (2)如果x=﹣1时,函数y取最小值,求y关于x的函数式; (3)在(2)的条件下,写出y的最小值. 19.(8分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)当0<x<3时,求y的取值范围; (3)点P为抛物线上一点,若S△PAB=10,求出此时点P的坐标. 20.(8分)如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点. (1)求这条抛物线对应的函数解析式; (2)求直线AB对应的函数解析式. 21.(8分)如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x米,则菜园的面积y(单位:米2)与x(单位:米)的函数关系式为多少? 22.(10分)某商店原来平均每天可销售某种水果200千克,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可所多售出20千克. (1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数表达式; (2)若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元? 23.(10分)如图,顶点为M的抛物线y=a(x+1)2﹣4分别与x轴相交于点A,B(点A在点B的右侧),与y轴相交于点C(0,﹣3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)判断△BCM是否为直角三角形,并说明理由. 24.(12分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+1经过点A(4,﹣3),顶点为点B,点P为抛物线上的一个动点,l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线,过P作PH⊥l,垂足为H,连接PO. (1)求抛物线的解析式,并写出其顶点B的坐标; (2)①当P点运动到A点处时,计算:PO= ,PH= ,由此发现,PO PH(填“>”、“<”或“=”); ②当P点在抛物线上运动时,猜想PO与PH有什么数量关系,并证明你的猜想; (3)如图2,设点C(1,﹣2),问是否存在点P,使得以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1.(3分)在下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是( ) A.y=x2 B.y= C.y=kx2 D.y=k2x 【考点】二次函数的定义. 【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数. 【解答】解:A、是二次函数,故A符合题意; B、是分式方程,故B错误; C、k=0时,不是函数,故C错误; D、k=0是常数函数,故D错误; 故选:A. 【点评】本题考查二次函数的定义,形如y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数. 2.(3分)是二次函数,则m的值为( ) A.0,﹣2 B.0,2 C.0 D.﹣2 【考点】二次函数的定义. 【分析】根据二次函数的定义知道其系数不为零且指数为2,从而求得m的值. 【解答】解:∵是二次函数, ∴ 解得:m=﹣2, 故选D. 【点评】本题考查了二次函数的定义,特别是遇到二次函数的解析式中二次项含有字母系数时,要注意字母系数的取值不能使得二次项系数为0. 3.(3分)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为( ) A. B. C. D. 【考点】二次函数的图象;一次函数的图象. 【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负,再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致. 【解答】解:A、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确; B、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误; C、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误; D、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误. 故选:A. 【点评】本题考查抛物线和直线的性质,用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法. 4.(3分)某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出下面的表格:
根据表格提供的信息,下列说法错误的是( ) A.该抛物线的对称轴是直线x=﹣2 B.该抛物线与y轴的交点坐标为(0,﹣2.5) C.b2﹣4ac=0 D.若点A(0.5,y1)是该抛物线上一点.则y1<﹣2.5 【考点】二次函数的图象. 【分析】根据表格提供的信息以及抛物线的性质一一判断即可. 【解答】解:A、正确.因为x=﹣1或﹣3时,y的值都是0.5,所以对称轴是x=﹣2. B、正确.根据对称性,x=0时的值和x=﹣4的值相等. C、错误.因为抛物线与x轴有交点,所以b2﹣4ac>0. D、正确.因为在对称轴的右侧y随x增大而减小. 故选C. 【点评】本题考查二次函数的图象以及性质,需要灵活应用二次函数的性质解决问题,读懂信息是解题的关键,属于中考常考题型. 5.(3分)关于抛物线y=x2﹣2x+1,下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.与x轴有两个重合的交点 C.对称轴是直线x=1 D.当x>1时,y随x的增大而减小 【考点】二次函数的性质;二次函数的图象. 【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象,根据二次函数的性质结合二次函数的图象,逐项分析四个选项,即可得出结论. 【解答】解:画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象,如图所示. A、∵a=1, ∴抛物线开口向上,A正确; B、∵令x2﹣2x+1=0,△=(﹣2)2﹣4×1×1=0, ∴该抛物线与x轴有两个重合的交点,B正确; C、∵﹣=﹣=1, ∴该抛物线对称轴是直线x=1,C正确; D、∵抛物线开口向上,且抛物线的对称轴为x=1, ∴当x>1时,y随x的增大而增大,D不正确. 故选D. 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象,解题的关键是结合二次函数的性质及其图象分析四个选项.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据二次函数的解析式画出函数图象,利用数形结合来解决问题是关键. 6.(3分)已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是( ) A.﹣1<x<4 B.﹣1<x<3 C.x<﹣1或x>4 D.x<﹣1或x>3 【考点】抛物线与x轴的交点. 【专题】计算题. 【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标,求当y<0,x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围. 【解答】解:由图象知,抛物线与x轴交于(﹣1,0),对称轴为x=1, ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0), ∵y<0时,函数的图象位于x轴的下方, 且当﹣1<x<3时函数图象位于x轴的下方, ∴当﹣1<x<3时,y<0. 故选B. 【点评】本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力,是一道不错的考查二次函数图象的题目. 7.(3分)二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【考点】抛物线与x轴的交点. 【分析】先计算根的判别式的值,然后根据b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断. 【解答】解:∵△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣2)=12>0, ∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与x轴有2个交点,与y轴有一个交点. ∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是3个. 故选D. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系:△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数;△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 8.(3分)已知关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=﹣2,点(1,3)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的一个点,则下列四个点中一定在该抛物线上的是( ) A.(2,3) B.(0,3) C.(﹣1,3) D.(﹣3,3) 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【分析】根据一次方程ax+b=0(a≠0)的解为x=﹣2得出b=2a,由此即可得出抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=﹣1,找出点(1,3)关于对称轴对称的点,即可得出结论. 【解答】解:∵关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=﹣2, ∴有﹣2a+b=0,即b=2a. ∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴x=﹣=﹣1. ∵点(1,3)是抛物线上的一点, ∴点(﹣3,3)是抛物线上的一点. 故选D. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是找出抛物线的对称轴为x=﹣1.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,找出抛物线的对称轴,找出已知点关于对称轴对称的点即可. 9.(3分)二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】二次函数的最值. 【专题】计算题. 【分析】先利用配方法得到y=﹣(x﹣1)2+5,然后根据二次函数的最值问题求解. 【解答】解:y=﹣(x﹣1)2+5, ∵a=﹣1<0, ∴当x=1时,y有最大值,最大值为5. 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的最值:当a>0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而减少;在对称轴右侧,y随x的增大而增大,因为图象有最低点,所以函数有最小值,当x=﹣时,y=;当a<0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减少,因为图象有最高点,所以函数有最大值,当x=﹣时,y=;确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值. 10.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a<;④b>1.其中正确的结论是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 【考点】二次函数图象与系数的关系. 【专题】压轴题. 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 【解答】解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0, ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0, ∵对称轴为x=<0,∴a、b同号,即b>0, ∴abc<0, 故本选项错误; ②当x=1时,函数值为2, ∴a+b+c=2; 故本选项正确; ③∵对称轴x=>﹣1, 解得:<a, ∵b>1, ∴a>, 故本选项错误; ④当x=﹣1时,函数值<0, 即a﹣b+c<0,(1) 又a+b+c=2, 将a+c=2﹣b代入(1), 2﹣2b<0, ∴b>1 故本选项正确; 综上所述,其中正确的结论是②④; 故选D. 【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定: (1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0. (2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x=判断符号. (3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0. (4)b2﹣4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定:2个交点,b2﹣4ac>0;1个交点,b2﹣4ac=0;没有交点,b2﹣4ac<0. (5)当x=1时,可确定a+b+c的符号,当x=﹣1时,可确定a﹣b+c的符号. (6)由对称轴公式x=,可确定2a+b的符号. 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11.(3分)已知函数是关于x的二次函数,则m的值为 ﹣1 . 【考点】二次函数的定义. 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可. 【解答】解:根据题意得:, 解得:m=﹣1. 故答案是:﹣1. 【点评】本题考查二次函数的定义,注意到m﹣1≠0是关键. 12.(3分)如图是二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=mx+n(m≠0)的图象,当y2>y1,x的取值范围是 ﹣2<x<1 . 【考点】二次函数的图象;一次函数的图象. 【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标,再根据两函数图象的上下位置关系,判断y2>y1时,x的取值范围. 【解答】解:从图象上看出,两个交点坐标分别为(﹣2,0),(1,3), ∴当有y2>y1时,有﹣2<x<1, 故答案为:﹣2<x<1. 【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题,同学们要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势. 13.(3分)若二次函数的图象开口向下,且经过(2,﹣3)点.符合条件的一个二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣2x+5 . 【考点】二次函数的性质. 【专题】开放型. 【分析】由于二次函数的图象开口向下,所以二次项系数是负数,而图象还经过(2,﹣3)点,由此即可确定这样的函数解析式不唯一. 【解答】解:∵若二次函数的图象开口向下,且经过(2,﹣3)点, ∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求. 答案不唯一. 例如:y=﹣x2﹣2x+5. 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键根据图象的性质确定解析式的各项系数. 14.(3分)已知点P(m,n)在抛物线y=ax2﹣x﹣a上,当m≥﹣1时,总有n≤1成立,则a的取值范围是 ﹣≤a<0 . 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【分析】依照题意画出图形,结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组,解不等式组即可得出a的取值范围. 【解答】解:根据已知条件,画出函数图象,如图所示. 由已知得:, 解得:﹣≤a<0. 故答案为:﹣≤a<0 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,解题的关键是画出函数图象,依照数形结合得出关于a的不等式组.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据二次函数的性质画出函数图象,利用数形结合解决问题是关键. 15.(3分)二次函数y=ax2(a>0)的图象经过点(1,y1)、(2,y2),则y1 < y2(填“>”或“<”). 【考点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的性质. 【分析】根据a>0,结合二次函数的性质即可得出“当x>0时,二次函数y值随着x值的增大而增大”,再由0<1<2即可得出结论. 【解答】解:∵a>0,且二次函数的对称轴为x=0, ∴当x>0时,二次函数y值随着x值的增大而增大, ∵0<1<2, ∴y1<y2. 故答案为:<. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,解题的关键是找出当x>0时,函数为增函数.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据二次函数的系数结合二次函数的性质找出其单调区间是关键. 16.(3分)二次函数y=x2+2x+2的最小值为 1 . 【考点】二次函数的最值. 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式,然后写出最小值即可. 【解答】解:配方得:y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+1=(x+1)2+1, 当x=﹣1时,二次函数y=x2+2x+2取得最小值为1. 故答案是:1. 【点评】本题考查了二次函数的最值.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法. 三、解答题(共8题,共72分) 17.(8分)已知抛物线经过点(2,3),且顶点坐标为(1,1),求这条抛物线的解析式. 【考点】待定系数法求二次函数解析式. 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标,则可设顶点式y=a(x+1)2+2,然后把(0,4)代入求出a的值即可. 【解答】解:∵顶点坐标为(1,1), 设抛物线为y=a(x﹣1)2+1, ∵抛物线经过点(2,3), ∴3=a(2﹣1)2+1, 解得:a=2. ∴y=2(x﹣1)2+1=2x2﹣4x+3. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解. 18.(8分)已知函数y=u+v,其中u与x的平方成正比,v是x的一次函数, (1)根据表格中的数据,确定v的函数式; (2)如果x=﹣1时,函数y取最小值,求y关于x的函数式; (3)在(2)的条件下,写出y的最小值. 【考点】二次函数的最值;待定系数法求一次函数解析式. 【专题】计算题. 【分析】(1)v是x的一次函数,可设v=kx+b,然后把表中两组数据代入得到关于k、b的方程组,解方程组求出k、b即可; (2)由于u与x的平方成正比,则设u=ax2,所以y=ax2+2x﹣1,根据二次函数的最值问题得到﹣=﹣1,解得a=1,由此得到y关于x的函数式; (3)把x=﹣1代入y关于x的函数式中计算出对应的函数值即可. 【解答】解:(1)设v=kx+b,把(0,﹣1)、(1,1)代入得,解得, ∴v=2x﹣1; (2)设u=ax2,则y=ax2+2x﹣1, ∵当x=﹣1时,y=ax2+2x﹣1取最小值, ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1,即, ∴a=1, ∴y=x2+2x﹣1, (3)把x=﹣1代入y=x2+2x﹣1得y=1﹣2﹣1=﹣2, 即y的最小值为﹣2. 【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值:当a>0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而减少;在对称轴右侧,y随x的增大而增大,因为图象有最低点,所以函数有最小值,当x=时,y=;当a<0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减少,因为图象有最高点,所以函数有最大值,当x=时,y=. 19.(8分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)当0<x<3时,求y的取值范围; (3)点P为抛物线上一点,若S△PAB=10,求出此时点P的坐标. 【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质. 【分析】(1)由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式,再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标; (2)结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论; (3)设P(x,y),根据三角形的面积公式以及S△PAB=10,即可算出y的值,代入抛物线解析式即可得出点P的坐标. 【解答】解:(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)分别代入y=x2+bx+c中, 得:,解得:, ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3. ∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴顶点坐标为(1,﹣4). (2)由图可得当0<x<3时,﹣4≤y<0. (3)∵A(﹣1,0)、B(3,0), ∴AB=4. 设P(x,y),则S△PAB=AB·|y|=2|y|=10, ∴|y|=5, ∴y=±5. ①当y=5时,x2﹣2x﹣3=5,解得:x1=﹣2,x2=4, 此时P点坐标为(﹣2,5)或(4,5); ②当y=﹣5时,x2﹣2x﹣3=﹣5,方程无解; 综上所述,P点坐标为(﹣2,5)或(4,5). 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)利用待定系数法求出函数解析式;(2)根据函数图象解不等式;(3)找出关于y的方程.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键. 20.(8分)如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点. (1)求这条抛物线对应的函数解析式; (2)求直线AB对应的函数解析式. 【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式. 【专题】计算题. 【分析】(1)利用△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点得到4a2﹣4a=0,然后解关于a的方程求出a,即可得到抛物线解析式; (2)利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数,则可以利用抛物线解析式确定B点坐标,然后利用待定系数法求直线AB的解析式. 【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A, ∴△=4a2﹣4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1, ∴抛物线解析式为y=x2+2x+1; (2)∵y=(x+1)2, ∴顶点A的坐标为(﹣1,0), ∵点C是线段AB的中点, 即点A与点B关于C点对称, ∴B点的横坐标为1, 当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则B(1,4), 设直线AB的解析式为y=kx+b, 把A(﹣1,0),B(1,4)代入得,解得, ∴直线AB的解析式为y=2x+2. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.也考查了利用待定系数法求函数解析式. 21.(8分)如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x米,则菜园的面积y(单位:米2)与x(单位:米)的函数关系式为多少? 【考点】根据实际问题列二次函数关系式. 【分析】由AB边长为x米根据已知可以推出BC=(30﹣x),然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式. 【解答】解:∵AB边长为x米, 而菜园ABCD是矩形菜园, ∴BC=(30﹣x), 菜园的面积=AB×BC=(30﹣x)·x, 则菜园的面积y(单位:米2)与x(单位:米)的函数关系式为:y=﹣x2+15x. 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式,利用矩形的周长公式用x表示BC,然后利用矩形的面积公式即可解决问题,本题的难点在于得到BC长. 22.(10分)某商店原来平均每天可销售某种水果200千克,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可所多售出20千克. (1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数表达式; (2)若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元? 【考点】二次函数的应用. 【分析】(1)根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x的函数关系式; (2)将y=960代入(1)中函数关系式中,得出关于x的一元二次方程,解方程即可得出结论. 【解答】解:(1)根据题意得: y=(200+20x)×(6﹣x)=﹣20x2﹣80x+1200. (2)令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960,则有960=﹣20x2﹣80x+1200, 即x2+4x﹣12=0, 解得:x=﹣6(舍去),或x=2. 答:若要平均每天盈利960元,则每千克应降价2元. 【点评】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是:(1)根据数量关系找出函数关系式;(2)将y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时结合数量关系找出函数关系式是关键. 23.(10分)如图,顶点为M的抛物线y=a(x+1)2﹣4分别与x轴相交于点A,B(点A在点B的右侧),与y轴相交于点C(0,﹣3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)判断△BCM是否为直角三角形,并说明理由. 【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式. 【分析】(1)将点C坐标代入解析式求得a即可; (2)先根据抛物线解析式求得点M、B、C的坐标,继而可得线段BC、CM、BM的长,根据勾股定理的逆定理即可判断. 【解答】解:(1)∵抛物线y=a(x+1)2﹣4与y轴相交于点C(0,﹣3). ∴﹣3=a﹣4, ∴a=1, ∴抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4=x2+2x﹣3, (2)△BCM是直角三角形 ∵由(1)知抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4, ∴M(﹣1,﹣4), 令y=0,得:x2+2x﹣3=0, ∴x1=﹣3,x2=1, ∴A(1,0),B(﹣3,0), ∴BC2=9+9=18,CM2=1+1=2,BM2=4+16=20, ∴BC2+CM2=BM2, ∴△BCM是直角三角形. 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及勾股定理逆定理,根据题意求得抛物线解析式是解题的根本,掌握勾股定理逆定理是解题的关键. 24.(12分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+1经过点A(4,﹣3),顶点为点B,点P为抛物线上的一个动点,l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线,过P作PH⊥l,垂足为H,连接PO. (1)求抛物线的解析式,并写出其顶点B的坐标; (2)①当P点运动到A点处时,计算:PO= 5 ,PH= 5 ,由此发现,PO = PH(填“>”、“<”或“=”); ②当P点在抛物线上运动时,猜想PO与PH有什么数量关系,并证明你的猜想; (3)如图2,设点C(1,﹣2),问是否存在点P,使得以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题. (2)①求出PO、PH即可解决问题. ②结论:PO=PH.设点P坐标(m,﹣m2+1),利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题. (3)首先判断PH与BC,PO与AC是对应边,设点P(m,﹣m2+1),由=列出方程即可解决问题. 【解答】(1)解:∵抛物线y=ax2+1经过点A(4,﹣3), ∴﹣3=16a+1, ∴a=﹣, ∴抛物线解析式为y=﹣x2+1,顶点B(0,1). (2)①当P点运动到A点处时,∵PO=5,PH=5, ∴PO=PH, 故答案分别为5,5,=. ②结论:PO=PH. 理由:设点P坐标(m,﹣m2+1), ∵PH=2﹣(﹣m2+1)=m2+1 PO==m2+1, ∴PO=PH. (3)∵BC==,AC==,AB==4 ∴BC=AC, ∵PO=PH, 又∵以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似, ∴PH与BC,PO与AC是对应边, ∴=,设点P(m,﹣m2+1), ∴=, 解得m=±1, ∴点P坐标(1,)或(﹣1,). 【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是记住两点之间的距离公式,学会转化的思想,用方程去解决问题,属于中考压轴题. |
|