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这是河南2021年中考数学的选择压轴题，是一道不太一样的动点问题。它和一般的动点问题有什么不一样的地方呢？我们先来看看题目： 如图1, 矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA-PE=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图像，则BC的长为( ) A. 4；B. 5；C. 6；D. 7.
一般的动点问题都会给出图形中一些关键边或线段的长，图像也多数是以时间轴为横轴的。而这道题的横轴并不是时间轴，而是一段线段BP的长，原图中也没有给出任何已知边或线段。这样的动点问题应该怎么解决呢？
老黄一开始先确定了图1中点B，E，C在图2中横轴的位置。把问题转化成求C点的横坐标。因为老黄猜想图中两段曲线都是抛物线的一部分，考虑利用抛物线的性质来解决这个问题。这个方法可能要设AB的长，它是一个常数，做为二次函数的一个系数。然而很快老黄就发现更简单的思路。而前面这个思路不一定走得通，走得通也相当繁琐。那老黄为什么还要讲呢？老黄是想告诉大家，解题不一定每次都能马上找到正确的方法。有可能我们会有一个错误的开始，但终究会找到正确的道路的。有兴趣可以沿着抛物线的思路继续思考下去，下面老黄介绍简单的思路。 首先分析P点在几个关键的位置上的情况，当P点刚出发时，PA就是AB，PE就是BE。此时x=0，PA-PE=AB-BE=1，也就是纵轴上y=1的位置。 图中两段曲线的连接点就是点P来到点E的位置上。因为当点P在点E的左侧时，AP随着点P的移动而变大，PE反而随着点P的移动而变小，所以PA与PE的差会随着点P的移动而变大；当点P在点E的右侧时，PE和PA都随着点P的运动而变长，但PE变长的幅度(或速度)会更大，所以PA与PE的差会随点P的移动而变小。 连接AE，可以看到，此时PA＝AE，PE则等于０，PA-PE=AE，从图2中可以直接读取这个纵坐标为5，即AE=5. 现在我们记BE=x，则AB=1+x，E是BC的中点，所以BC=2x。 在直角三角形ABE中，运用勾股定理AB^2+BE^2=AE^2， 就可以得到一个关于x的方程：(1+x)^2+x^2=25, 解得x=3,或x=-4，舍去负值，所以BC=6. 你觉得这道题怎么样呢？请在评论区中留下你的看法。 |
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