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这是广州2021年中考数学的选择压轴题。这道题最大的特点就在于，它的很多量都具有不确定性，因此给解题带来很大的麻烦。我们来看一下这道题： 在平面直角坐标系xOy中, 矩形OABC的点A在函数y=1/x(x>0)的图像上，点C在函数y=-4/x(x<0)的图像上，若点B的横坐标为-7/2，则点A的坐标为( ) A. (1/2,2) B. (根号2 /2, 根号2) C. (2,1/2) D. (根号2, 根号2 /2) 这道题可以用检验法来求，问题是我们不知道哪个是答案，如果答案选A，那一次就可以检验出来，也不麻烦，但如果答案不是A，就要重复检验，这个检验过程也不简单，重复检验花的时间还是蛮多的。因此快速抛弃掉选择题最常用的检验法。 这道题的图像如果要准确地画出来，也很不容易，不过其实我们并不需要画出准确的图，只要画出大概的图形就可以了，因为那样有助于我们发现问题中的数量关系。 如下图，就是一个大概的图形。观察一下，你有什么发现吗？  我们可以设A(a,1/a), C(c,-4/c), B(-7/2, b), 其中a>0, c<0. 那么在这些未知数之间，有什么数量关系呢？  分别过点C和点A作x轴的垂线，就可以发现，这里有两个相似的三角形。因此可以得到它们的对应边成比例。从而有C点的纵坐标与横坐标的相反数的比，等于A点的横坐标与纵坐标的比，即(-4/c):(-c)=a:(1/a)。可以化得c=-2/a. 另一个等量关系，能发现的同学恐怕就不会很多了。那就是点O和点C的水平距离会等于点A与点B的水平距离。这可以当作一个定理记起来哦。就是：矩形相邻两个顶点的水平距离等于另两个顶点的水平距离。竖直距离同样是相等的。 因此点C的横坐标等于点B和点A的横坐标差，即c=-7/2-a。因为点C的横坐标是负数，所以不用点A的横坐标减去点B的横坐标，而是反过来用点B的横坐标减去点A的横坐标。很多学生总是不注意这方面的细节，因此解题经常出错。 这样就可以得到一个关于a的方程：2/a=7/2+a，它实际上是一个关于a的二次方程2a^2+7a-4=0。 解得a=1/2，这里已经舍去了负值。这就是点A的横坐标，纵坐标则等于1/a=2。答案正好就是选Ａ. 那么你会不会觉得用检验法其实也不错呢？ 其实考试的时候时间宝贵，我们既没有时间去慢慢思考最好的解法，也没有时间慢慢去做一些复杂的检验。平时一定要锻炼解题的能力，考试时要用自己最熟悉的方法，快速尝试。而老黄最拿手的方法，就是设未知数的方程法，因此第一时间就想到设未知数。虽然未知数的数量比较多，但只要方法得当，总有一些未知数会被消掉的。 那么你还有其它更好的解法吗？ 最后组织分析过程：可设A(a,1/a), C(c,-4/c), a>0, c<0. 则(-4/c):(-c)=a:(1/a), 即4/c^2=a^2, c= -2/a. 又 c=-7/2-a, ∴2/a=7/2+a, 2a^2+7a-4=0, 解得a=1/2(舍去负值), 1/a=2. 所以A(1/2,2). |
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