【原】复变函数第一章：解析函数(2)

解

析

函

数

Section1：解析函数

Subsection 5：导数的几何意义

解析函数

1.5：导数的几何意义

导数的辐角

以下我们均设,且,讨论的任何一条曲线都属于且.

过 作一条光滑曲线 , 它的方程为

设 , 且 . 前面说过, 在点 处的切线与正实轴的夹角为 设 把曲线 映为 , 它的方程为

由于 , 所以 在 处的切线与正实 轴的夹角为

因此：

这说明像和原像之间的夹角为.

现在假设有两条曲线分别为：,他们的像分别为,他们在点，我们可以得到：

即：

上式说明, 如果 , 那么在映射 的作用下, 过 点的任意两条光滑曲线的夹角的 大小与旋转方向都是保持不变的. 我们把具有这种性质的映射称为在 点是第一类保角的. (常见的中文书籍的保角均指的是第一类保角.)

1.0

Theorem 1.10:全纯函数在其导数不为零的点处是第一类保角的.

导数的模长

由于：

所以我们可以得到：

这说明像点之间的距离与原像之间的距离之比只与 有关, 而与曲线 无关. 称 为 在 处的伸缩率.(注意到和表示两个向量的距离.)

当然也可以这样理解：因此当 充分接近于 时,

上式说明, 当 时, 将以 为圆心, 为半径的充分小的 圆盘近似地映为以 为圆心, 为半径的圆盘. 特别地, 应是映射 关于对应区域之间的面积比, 即映射的 Jacobi 行列式.(忘了的同志可以会看下数学分析中的多元函数的函数变换后面积的计算.)

Theorem1.1.11：设 在区域 上解析, , 则 是映射在 处的 Jacobi 行列式.

由定义, 映射 的 Jacobi 行列式 为

由 方程上式可写成

证毕..

利用上边的这个结论，我们可以证明：

证明 将 看做映射 , 则其 Jacobi 行列式 . 由微积分中逆映射定理知存在 的邻域 , 使得 是开集; 有逆映射 . 因此命题得证.