模型系列--一线三垂直全等模型

模型  三垂直全等模型

如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.

结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

 

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.

例1 如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.

证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，

∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.

∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.

∴∠BAE＝∠CED.

在△ABE和△ECD中，

 

∴△ABE≌△ECD.

∴AB＝EC，BE＝CD.

∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC.

例2 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则DE的长为多少？

解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝90°.

∴∠EBC＋∠BCE＝90°.

∵∠BCE＋∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝∠DCA.

在△CEB和△ADC中，

 

∴△CEB≌△ADC.

∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm.

∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm.

例3  如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.

解答：（1）如图③，过点B作BD⊥x轴于点D.

∴∠BCD＋∠DBC＝90°.

由等腰Rt△ABC可知，BC＝AC，∠ACB＝90°，

∴∠BCD＋∠ACO＝90°.

∴∠DBC＝∠ACO.

在△BCD和△CAO中，

∴△BCD≌△CAO.

∴CD＝OA，BD＝OC.

∵OA＝3，OC＝2.

∴CD＝3，BD＝2.

∴OD＝5.

∴B（－5，2）.

（2）如图④，过点A作AD⊥y轴于点D.

在△ACD和△CBO中，

∴△ACD≌△CBO.

∴CD＝OB，AD＝CO.

∵B（－1，0），C（0，3）

∴OB＝1，OC＝3.

∴AD＝3，OD＝2.

∴OD＝5.

∴A（3，2）.

跟踪练习

1．如图，正方形ABCD，BE＝CF.求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF.

证明：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°.

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF.

∴AE＝BF.

（2）∵△ABE≌△BCF.

∴∠BAE＝∠CBF.

∵∠ABE＝90°，

∴∠BAE＋∠AEB＝90°.

∴∠CBF＋∠AEB＝90°.

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF.

2．直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是_____.

解答：∵a、b、c都是正方形，

∴AC＝CD，∠ACD＝90°.

∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC＝90°，

∴∠BAC＝∠DCE.

在△ABC和△CBE中，

∴△ACB≌△CDE.

∴AB＝CE，BC＝DE.

在Rt△ABC中，＝＋＝＋

即＝＋＝5＋11＝16.

3．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC上一动点（BP<CP），分别过B、C作BE⊥AP于E、CF⊥AP于F.

（1）求证：EF＝CF－BE；

（2）若P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.

解答：∵BE⊥AP，CF⊥AP，

∴∠AEB＝∠AFC＝90°.

∴∠FAC＋∠ACF＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAE＋∠FAC＝90°，

∴∠BAE＝∠ACF.

在△ABE和△CAF中，

∴△ABE≌△CAF.

∴AE＝CF，BE＝AF.

∵EF＝AE－AF，

∴EF＝CF－BE.

（2）如图，EF＝BE＋CF.

理由：同（1）易证△ABE≌△CAF.

∴AE＝CF，BE＝AF.

∵EF＝AE＋AF，

∴EF＝ BE ＋ CF.

4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D为旋转中心，将 腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.

（1）当α＝45°时，求△EAD的面积；

（2）当α＝45°时，求△EAD的面积；

（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论.

解答：

（1）1；

（2）1；

（3）过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD延长线于点F.

∵AD∥BC，DG⊥BC，

∴∠GDF＝90°.

又∵∠EDC＝90°，

∴∠1＝∠2.

在△CGD和△EFD中，

∴△DCG≌△DEF

∴EF＝CG，

∵AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，

∴BG＝AD＝2，

∴CG＝1.

∴＝AD·EF＝1.

∴△EAD的面积与α大小无关.

5．向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P.   求证：BC＝2AP.

解答：过点G作GM⊥AP于点M，过点E作EN⊥AP交AP延长线于点N.

∵四边形ACFG是正方形，

∴AC＝AG，∠CAG＝90°.

∴∠CAH＋∠GAM＝90°.

又∵AH⊥BC，

∴∠CAH＋∠ACH＝90°.

∴∠ACH＝∠GAM.

在△ACH和△GAM中，

∴△ACH≌△GAM

∴CH＝AM，AH＝GM.

同理可证△ABH≌△EAN

∴BH＝AN，AH＝EN.

∴EN＝GM.

在△EPN和△GPM中，

∴△EPN≌△GPM.

∴NP＝MP，

∴BC＝BH＋CH

      ＝AN＋AM

      ＝AP＋PN＋AP－PM

      ＝2AP.