中考数学压轴题分析：新定义与最值问题

一个大风子 2022-02-15

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本文内容选自2021年背景中考数学压轴题。以平面直角坐标系为背景，考查旋转、圆有关的位置问题以及线段最值等。

【中考真题】

（2021·北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是　　；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．

【分析】

（1）根据已知条件中的新定义，进行逐一判断。确定旋转后是否可以落在圆上。

（2）由于是等边三角形，且点A在y轴上，旋转后AB′=AC′，可以得到AO垂直平分B′C′，就可以确定点B′与C′的位置了，进而确定t的值。

（3）本题属于压轴一问，有一定难度。不过根据新定义，可以得到四个点O、A、B′、C′组成的图形的样子。

点O到B′、C′的距离是相等为1，而点A到他们的距离也是确定的。根据四边形的不稳定性，可以确定OA的最大值与最小值，画出图形，再求B′C′的长即可。

【答案】解：（1）由旋转的旋转可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为1≤d1，
∵，
∴点不可能在圆上，
∴不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵，
∴，
∴是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵，
当，
由图可知此时不在圆上，
∴不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．
故答案为；．
（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，
∵A（0，t），
∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，
∴AO为B′C′边上的高，且此高的长为，
∴t或．
（3）由旋转的性质和“关联线段”的定义，
可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如图1，
利用四边形的不稳定性可知，
当A，O，C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2，
此时OA＝OB′＝OC′，
∴∠AB′C＝90°，
∴B′C′．
当A，B′，O在同一直线上时，OA最大，如图3，
此时OA＝2，过点A作AE⊥OC′于E，过点C′作C′F⊥OA于F．
∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，
∴OE＝EC′，
∴AE，
∵·AO·C′F·OC′·AE，
∴C′F，
∴OF，
∴FB′＝OB′﹣OF，
∴B′C′．
综上OA的最小值为1时，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为．