我们都知道自然数平方的倒数之和等于π^2/6,它是有欧拉证明得出的,欧拉也因此一举成名。关于该级数的证明非常多,但欧拉的方法至今仍是最经典最通俗易懂的,大家可以查阅相关的资料,包含的数学思维值得我们学习 本篇我们从几何的角度得出除首项1以外的级数特性 即1/2^2+1/3^2+1/4^2+……的和是如何分布的 如下是一个1X1的正方形,四等分后得到1/2^2,另一个就是1/3^2<1/4^2,将1/4四等分,我们就得到1/4^2,接着得到1/5^2<1/4^2,所以我们最终得到除1以外的所有级数:1/2^2+1/3^2+1/4^2+……的和小于1 上述就得到除1以外的自然数平方的倒数之和是小于1的,事实也证明了这一点。 所以巧妙的几何原理形象直观地表达了抽象的级数原理,该方法通俗易懂值得我们借鉴和学习。 |
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