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冯跃峰 解题实际告诉我们，解题者越能从本质上把握问题的要求，就越能沟通新旧知识的联系，把要研究的问题纳入已有的知识结构，从而迅速获取解题方法。 揭示问题的本质要求，主要有两种方式：一是从差异看本质，二是从联系看本质。 所谓从差异看本质，就是先认识题中的各种差异，然后了解这些差异在题中所处的地位，进而抓住其中最主要的即最能反映事物特征、决定事物性质的差异，由此产生对题目本质要求的认识。 一些数学问题常常只须消除题中的主要差异便可获解，或者使问题发生根本转化，变得易于求解。 特别地，当问题中只存在一种差异时，问题的本质要求常常就是消除这一差异。 我们看下面的例子。 例1、设
求证： 【分析与解】本题不能分割目标，只能以条件为起点，建立如下解题主线：
—→ 先发现差异，当前状态
与目标状态 之间存在元素差异——所含字母不同：目标状态不含y，于是，应在当前状态中的y消去，这就是解题的本质要求。 明确了这一要求，解答则是很简单的，直接代入消元即可。 【新写】因为 所以 所以
所以 所以 = 即
所以 所以 即 我们再看一个例子。 例2、设sinα=asinβ，tanα=btanβ， 求证： 【分析与证明】这是一道三角条件等式的证明题。可建立如下解题主线： sinα=asinβ，tanα=btanβ ——→ 一般地，解题者对这类问题总喜欢从“条件等式证明××法”等一类“规律”中寻找解法，但对上述问题，其“规律”怕是难以奏效的，因为那些“规律”不过是一些对付个别问题的专门技巧，并不具一般的指导意义。 如果解题者能观察到起点与终点所含变量的特点，发现其主要差异是起点含角β，而终点不含角β，便可发现问题的本质要求是消去β（表面上是要证明三角条件等式）。 发现了这一本质特点，联想到“平方关系”的消元功能，并且与起点所含的sinβ、tanβ相比较，即可发现借助公式sin²β+cos²β=1可消去角β。 这样，需先消除函数差异，将正切转化为正弦余弦，有如下变形：
至此，问题向目标迈进了关键的一步，消除了函数差异。尚存的差异是角度差异，下面借助sin²β+cos²β=1消去角β。 其中注意①可用来“消去sin²β”，这样想到将②中的cos²β转化为“sin²β”即可，②变为：
现在，将①代入③，得到
进一步消除与目标的函数差异，将sin²α转化为cos²α，得
解此关于cos²α的方程，得
在上面的解题过程中，消去β是使解题成功的关键一步，它来源于对题目本质要求的认识。这就充分说明，揭示本质是发现解题途径的重要手段。 下面的例子与之类似，留给读者练习。 例3、设 求证：tan²Acot²B=sin²C。 【分析与证明】本题分割目标建立主线难以获解，可以以条件为起点，建立如下解题主线：
——→ tan²Acot²B=sin²C。 始末两种状态至少有两种差异：一是运算结构的差异，二是函数的差异。其中运算结构差异是次要的，因为它可在有关的变形中随之转化，而函数差异是主要的，必须有意识地进行转化。 因此，问题的本质要求是实现下列各组同角函数间的转化： sin²A、cos²A → tan²A； sin²B → cot²B； cos²C → sin²C。 认识了这一本质要求，就会联想相关的知识，通过已有知识的迁移，建立各组函数间的联系。 实际上，我们有
进而，cos²A=1- sin²A
此外， = =1+ cot²B； cos²C=1- sin²C。 将以上各式分别代入起点状态，化简即得所要的结构。 所谓从联系看本质，就是通过发掘题中各要素的实际意义及其相互关系，揭示事物的本质。 我们看下面的例子。 例4、设 若对任何实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为边长的三角形，求合乎条件的实数k的集合。 【分析与解】本题的目标很明确，关键是要理解条件： “对任何实数a、b、c，都存在边长为 它的含义是：f（x）的值域中的任何3个数（因为a、b、c是定义域中的任意3个数，所以 联想到三线段构成三角形的条件，上述条件等价于：
其中，视k为常数，最大值、最小值都可以用k表示。 由此可见，解题的本质要求，是将f（x）的最大、最小值都用k表示，然后代入前述不等式求出k的值。 如何求f（x）的最大值、最小值（用k表示）？这可发掘f（x）表达式的特征：分子分母都是二次式，可先分离整数部分，使变量x出现的位置减少。 于是， 进一步发掘f（x）中的分式特征：分子为单项式，分母为多项式。如果能将分母也“变为”单项式，则有望约去公因式，使表达式简化。 怎样才能“和差化积”？注意这里的“变”，并非恒等变形，可以是放缩变形。由此联想到平均值不等式的“和差化积”功能，有
但需要注意，将这一放缩结果代入前述表达式时，必须先确定“系数”k-1的正负。 如果k=1，则恒有f（x）=1。此时，由
得2>1，它显然成立。从而k=1合乎要求。 如果k>1，则由
当x=1时，不等式成立等号，从而
又 等号在x=0成立，从而
此时，由 2> 警惕：上述解答过程有一个小小的漏洞，你发现了吗？ 推理中出现了不等式 “
此不等式只有在x≠0的前提下才有意义。因此，上述推理必须先限定x≠0，然后补充讨论x=0的情形。 实际上，若x=0，则
此时仍然有f（x）≤ 如果k<1，则当x≠0时，由
≥
当x=0时， > 所以不论何种情况，都有f（x）≥ 当x=1时，不等式成立等号，从而 又 等号在x=0成立，从而 此时，由
三种情况中的k求并集，得合乎条件的k的集合为 具体解答如下： 【新写】对任何实数a、b、c，都存在以 因为
由平均值不等式，有 所以 如果k=1，则恒有f（x）=1。 此时，由 得2>1，它显然成立。从而k=1合乎要求。 如果k>1，则当x≠0时，由
当x=0时，
所以不论何种情况，都有 当x=1时，不等式成立等号，从而
又 等号在x=0成立，从而
此时，由 2> 如果k<1，则当x≠0时，由
≥
当x=0时，
所以不论何种情况，都有f（x）≥ 当x=1时，不等式成立等号，从而
等号在x=0成立，从而 此时，由
综上所述，所有合乎条件的k的集合为 【一点说明】 所有文章免费阅读，谢谢转发、分享。 |
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