量子力学中的一级近似理论在量子力学中是以 Schrödinger 方程作为基本方程描述力学系统的演化，即 根据 Feynman 路径积分理论可知 ，这个作用量依赖于具体的传播路径且作用的结果是所有路径的波函数加权平均，故可以把这个作用量按照约化 Planck 常量进行展开后得到 令 则给出经典情形下的结果 且满足对应原理，进而将 Schrödinger 方程写成 然后对比 Hamilton-Jacobi 理论的基本方程 ，也得到了相同的结果。 上面讨论的方法是将波函数提出来，再把作用量展开到任意阶近似求解 Schrödinger 方程的方法是由 Wenzel， Kramers 和 Brillouin三人解决的，故称为 近似方法，事实上 近似方法可以推广而不仅仅局限于应用于 Schrödinger 方程和量子力学中，故接下来讨论一阶近似理论 ，于是将作用量要取到二阶 ，即 ，再代入 中并近似到二阶项 ，然后将导数 记作 ，故有 进而将上面的方程根据经典项和微扰项可以写成下面的三个方程 可以看到第一个式子就是经典的 Jacobi 方程，而第二个式子和第三个式子是量子修正的微扰，因此 近似方法是一种半经典半量子的近似方法。 根据第一个方程 ，则可以求出作用量的零阶项为 ，根据第二个方程 ，则得到作用量的一阶修正为 ，即有 ，其中 是常数可以省略，因为最终要把作用量代回波函数，而所有的常数都可以合并到波函数的归一化系数中，由于此时需要的是一阶微扰理论，故第三个式子 是计算二阶微扰项 的方程 ，就不再考虑了。 将 代入波函数 中并注意到正负态，故通解为 从物理意义上看，使 有意义的区是经典允许区 ，而对于经典禁区 ，则令 ，于是通解就可以改写为 在建立了一阶近似理论后还要判断其适用条件，因此一阶各项都应当远远小于零阶项，即有 和 ，再代入上面的 和 的表达式 ，就有了下面的近似 ，即 移项后可以得到 和 ，根据德布罗意公式 ，则有 和 ，故称上面的两个式子称为一阶近似条件，其中第一个式子的物理意义是粒子的波长随运动所发生的变化不能太快，而第二个式子的物理意义包括两点，一是势能 的变化足够缓慢 ，即 ，其中该式的右边在忽略系数的情形下可以表示动能，二是在经典允许区和经典禁区的交界处 有 ，此时一阶近似条件并不成立。 最后根据 近似方法也可以推导出 Bohr 量子理论中的角动量量子化条件，即对于具有对称性的解则可以将通解的两项合并得到 ，根据周期性边界条件有 和 ，其中 ，进行重参数化 后得到 ，其中 ，上式称为Bohr-Sommerfeld 量子化条件，如果不考虑零点能的情形下就是 Bohr 量子化条件。 参考文献： [1] 曾谨言 . 《量子力学导论》. 北京大学出版社. [2] 钱伯初. 《量子力学》. 科学出版社.
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