首先在《分析力学专题——Lagrangian和Hamiltonian,Hamilton-Jacobi 理论》中,我们建立了基本的 Lagrange 量和 Hamilton 量,然后在《分析力学专题——四维经典场论》中,我们用四维经典场论来重新构建经典力学,本文在前面的基础上,来介绍守恒流与 Noether 定理,希望读者能喜欢。 Lagrange 密度( Lagrange 量)具有对称性,即对于某种场的变换具有不变性,下面来看一个最简单的例子,如果一个等边三角形以几何中心为旋转中心旋转 ,则它还是原来的形状,此时称等边三角形具有旋转不变性,这个不变性针是指以几何中心为旋转中心旋转 后保持某种性质的不变,同理对于轴对称也是一种对称不变性。因此对于一个Lagrange 密度,怎样变换能体现这种对称性是本文讨论的一个很重要的问题,毕竟 Lagrange 密度本身就是在描述一个物理场,如果这个场具有某种对称性的话,就能够直接知道体系的某种守恒量。 假设有一个变换 ,使得 Lagrange 密度 有变分,即得到 当 Lagrange 密度 满足 Lagrange 方程时,sh上边的式子右边第二项为 ,而根据指标判断, 是标量函数,且通量密度的变化其实就是散度,即有 ,因此可以认为 Lagrange 密度的变化可以表示为某个流 的散度,由于可以将 在坐标基底下展开,此时对于散度而言,散度为正,即所谓的流向空间外流出,故而散度和 展开式异号,即得到 同理根据指标,把上式括号里的量定义成一个新的流 ,因此有 这个新的流 的散度为 ,称 是一个守恒流。如果一开始假设场有一个变化,而有一个量不会随着场的那个变化而变化,但这个量对 具有依赖性,接下来就来探讨这个问题。 根据本文一开始对 定义,则有变换 ,而 的物理意义为当坐标系不发生改变时场的变化,即在旧坐标系 的视角下场的变化,以及在新坐标系 的视角下的场变化和坐标的变化,因此新视角场的变化为 和坐标系的变化 ,其中 和 并不是同一个量,毕竟 是假定坐标系固定时场发生的变化,包括场本身的变化和坐标系变化引起的变化,而 是新坐标系视角下场发生的变化,即场本身的变化且与坐标系改变无关的变化, 是旧场。现在设 ,其中根据 则可以推出 ,接下来考虑 的展开式,并将变分项展开在任意坐标系 上 ,故这一项的坐标系可以自由选取,于是不妨取 , 使得 ,然后就有 因此有 然后将(2)式的代入(1)中得到 又由于 ,其中 是 kronecker 符号 ,当 时, ,当 时, ,最终得到了守恒流的表达式 最后就可以给出著名的 Noether 定理,即当场存在变换 时,系统具有守恒流 。 未完待续,敬请期待…… |
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