一题搞懂特殊角等腰三角形/截长补短等套路 - 初联几何100题之13

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题目：已知：在ABC 中， AC =BC ，C =100， AD 平分CAB .

求证： AD + CD = AB

如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。

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题目分析：

通过观察得到的三个特征：特殊角度的等腰三角形，角平分线，线段截长补短。

我们从这几个特征入手进行尝试。

读过我们这个初联几何专题文章的小伙伴，应该还记得特殊角度等腰三角形的处理方法吧？忘了的话，翻一下题3，题5，题8。以下是链接：

初中数学联赛几何100题之005 - 卡拉数学

初中数学联赛几何100题之003 - 卡拉数学

特殊角度的等腰三角形实战 - 初中数学联赛几何100题之008

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解法一：用同样的思路，作出圆C。同时沿着补短的思路，延长AD到G，使DG=CD

得到，同时结论转化为AG=AB

有了30度角，自然会想到构造正三角形，所以把A沿着直径CG对称到A1'点，则A1'点在圆C上，,是正三角形

所以,

AA1'=AB=AG=AD+DG

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解法二：通过截长和倒角，解法更为简单

在AB上截出AE=AD，连接DE，易知

结论转化为求证DE=CD

但三角形ACD和ADE明显不全等，所以尝试构造一对全等三角形出来。

在AE上截取AF=AC,得到三角形ACD的全等形ADF,CD=DF

结论转化为求证DE=DF

这一点容易由

得证

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解法三：一条比较偏僻的小路，这条小路从角平分线出发，并且结合，构造以D点为内心的三角形。

作线段BE，使,延长AC交BE于E点，延长AD交BE于F点

易知,

所以E,C,D,F四点共圆，且D为的内心，

可知,CD=DF

又因为,AB=AF

所以AB=AF=AD+DF=AD+CD

得证

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总结：本题难度不大，可用的特征也很多，有益于开阔思路，包括特殊角度的等腰三角形，截长补短，构造内心，构造全等三角形等。

你做对了吗？如果你有更好的方法，欢迎分享。

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