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题目：正整数a,b都是完全平方数，它们的和a+b也是完全平方数。小明说：a和b的乘积一定能被144整除。请问小明的说法正确吗？ 这道题属于数论问题，如果要说明小明的说法错误，只需要构造出一个反例；如果要说明小明的说法正确，需要给出严格的证明。这种类型的题目通常选择严格证明，这道题也不例外。 如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。 思路分析： 不难发现144=12^2=9*16，(注：12^2表示12的平方)，由于a和b都是完全平方数，要说明ab是144的整数倍，就是要说明a或b是9的整数倍，且a或b是16的整数倍。这就是解题的突破口。解题过程需要用到余数的两个知识点，设m,n,x,y,r,s都是正整数,x除以n的余数是r,y除以n的余数是s,(1)若m=x+y,则m与r+s除以n的余数相同；(2)若m=x*y,则m与r*s除以n的余数相同。 假设a,b的最大公约数是d,且a=dp,b=dq,先考虑完全平方数除以3或4的余数，再考虑p和q有无可能都不整除9，再考虑p和q有无可能都是奇数，再考虑p和q有无可能都不整除16，最后考虑原题目的答案。 下面我们开始解答 步骤1：先思考第一个问题，完全平方数除以3或4的余数是多少？任意一个正整数，除以3后余数只可能是0,1,2，平方后除以3的余数只能是0或1;类似的任意一个正整数，除以4后余数只可能是0,1,2,3,平方后除以4的余数只能是0或1。下面的步骤中将用到这两个结论。 步骤2：再考虑第二个问题，p和q有无可能都不整除9？由于a,b和a+b都是完全平方数，故d,p,q和p+q也都是完全平方数。如果p和q都不是9的整数倍， 则p和q都不是3的整数倍，根据步骤1的结论，p和q除以3的余数都是1，根据余数的第(1)个知识点，p+q除以3的余数就是2，这与p+q是完全平方数矛盾。因此p和q中一定有一个能整除9。 步骤3：再考虑第三个问题，p和q有无可能都是奇数？如果p,q都是奇数，则根据步骤1的结论，p和q除以4的余数都是1，根据余数的第(1)个知识点，p+q除以4的余数就是2，这与p+q是完全平方数矛盾，故p,q之间一定有一个偶数，又因为p,q的最大公约数是1，因此p,q一定是一奇一偶，以下不妨假设p为偶数q为奇数。 步骤4：再考虑第四个问题，p和q有无可能都不整除16？在步骤3的基础上继续思考，假设p=(2m)^2 ,q=(2n+1)^2,由于p+q是奇数且是完全平方数，故存在正整数k，使p+q=(2k+1)^2,则 (2m)^2=(2k+1)^2-(2n+1)^2=4(k^2+k-n^2-n)=4[k(k+1)-n(n+1)],即m^2= k(k+1)-n(n+1),注意到k(k+1)和n(n+1)都是偶数，故m^2也是偶数，这说明m是偶数，因此p=(2m)^2一定能整除16。 步骤5：综合上述几个问题，考虑原题目的答案。从步骤2得到p或q能整除9，从步骤3和4得到p或q能整除16，因此pq一定能整除144，则ab也一定能整除144， 所以小明的说法正确。 你学会了吗？ 有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题 思考题：n和n+13都是完全平方数，请问满足条件的n有多少个？ 本自媒体长期分享数学趣题、解题技巧，致力于数学科普和拓展数学思维，每日定更，觉得内容有兴趣的可以长期关注哦！ |
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