三、关于完全平方数

三、关于完全平方数

　　我们已经知道，个位数字为2，3，7，8的自然数不可能是完全平方数。

　　其实，一个整数是否为完全平方数，还可以用其它方法来判断。

　　例如，我们可以将完全平方数逐个列出：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，……10000，……

　　在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

　　即如果n²＜a＜（n＋1）²，那么a不是完全平方数，

　　下面将给出完全平方数应满足的条件，若这些条件之一不满足，则决不可能是完全平方数。

　　1．任何偶数的平方必为4的倍数，可表为4k形式；

　　任何奇数的平方必为4的倍数加1，可表为4k＋1形式；

　　任何整数被4除，只有四种可能性，即余数为0，1，2，3。或者说整数只有4k，4k＋1，4k＋2，4k＋3四种形式。

　　显然形如4k＋2，4k＋3的整数不是完全平方数。

　　2．（k为整数）任何整数被3除，只有三种可能性，即余数为0，1，2。或者说整数只有3k，3k＋1，3k＋2三种形式。

　　形如3k的整数平方后仍是3的倍数；

　　形如3k＋1的整数平方后仍是3的倍数加1；

　　形如3k＋2的整数平方后必为3的倍数加1。

　　即任何整数平方后只可能是3n或3n＋1的形式。因此，形如3n＋2的数不可能是完全平方数。

　　3．（n，k为整数）任何整数被5除的余数有0，1，2，3，4共五种情形。

　　形如5k的整数平方后仍是5的倍数；

　　形如5k＋1和5k＋4的整数平方后必为5的倍数加1；

　　形如5k＋2，5k＋3的整数，平方后必为5的倍数加4。

　　所以任何整数平方后只可能是5n，5n＋1，5n＋4的形式。即形如5n＋2，5n＋3的数，不可能是完全平方数。（这就是说完全平方数个位数字不可能是2，3，7，8）。

　　同理可知，形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7的数不是完全平方数；

　　形如9n＋2，9n＋3，9n＋5，9n＋6，9n＋8的数不是完全平方数。

　　4．（n，足为整数）考察完全平方数的个位和十位上的数字。

　　由4²＝16，6²＝36，8²＝64，10²＝100，12²＝144，

　　5²＝25，7²＝49，9²＝81，11²＝121，13²＝169，

　　可以发现：完全平方数个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。

　　完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数（证明从略）。

例8 用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？

分析：由300个2和若干个0组成的整数，其位数至少是301位，除首位为2外，各数位上都有可能是2和0。但不可能逐个检查。

　　由于各数位上的数字和为600（这是所有由300个2和若干个0组成的数的共同特性），所以组成的整数一定能被3整除。但600并非3²＝9的倍数。

解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600。

　　∵3｜600， ∴3｜A。

　　

　　即A中只有3这个约数，而无3²＝9作为约数，所以A不是完全平方数。

　　 　

　　却是奇数1。

　　

　　我们知道，奇数的平方必为4的倍数加1，即4k＋1的形式。

　　但4k＋3形式的数不是完全平方数。

　　

　　从其个位为1可知，它必为10k＋1或10k＋9形式的数平方而得。　　　

　　（1）式两边同除以10得

　　显然，此式左边为偶数，右边为奇数，两边不相等。

　　

　　（2）式两边同除以10得：

　　显然，此式左边为偶数，右边为奇数，两边不相等。