三角函数的形成与发展

三角函数的诞生源于人们对“测量技术”的需求。古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，c.190 – c.120 BC）为了测量天球上的角度和距离，制作了人类历史上第一张“和弦表”（a table of chords），也被称为三角学的创始人。

 

所谓“和弦”即圆上两点之间的连线（更一般的也可以指任意曲线上的两点连线），如图1所示，设∠AOB=α，是圆上的圆心角，则AB即为圆心角所对应的和弦长度。

图1 和弦示意图

 

想象A和B是天球上的两颗星，AB的距离就等于喜帕恰斯的和弦。如果采用现在我们熟知的正弦来计算，则有

chord(α)=AB=2r*sin(α/2)

 

这里，r为圆半径；chord(α)表示角α所对应的和弦。可见，喜帕恰斯的“和弦表”本质上就是正弦表。“和弦”的一半再除以圆的半径就是正弦，因此正弦也被称为半和弦。喜帕恰斯的“和弦表”中，每7.5度为一个增量，喜帕恰斯也成为了第一个系统使用一个圆有360度的人。

图2 Hipparchus（约前190-约前120）

 

在喜帕恰斯前几个世纪，古埃及人和古巴比伦人已经积累了许多三角形边比的性质，只是当时还没有角度的概念，写不出三角函数关系。特别是古巴比伦人在记录恒星的升、落，行星运动，以及日食、月食等现象时，用到了大量的天球上角距离的测试。甚至有人猜测，古巴比伦人曾有过一张类似于喜帕恰斯的和弦表。另一方面，古埃及的Ahmes（约前1680-1620）曾记录了这样一个与三角函数相关的问题：

 

“如果一个金字塔高 250 肘，它的底边长 360 肘，它的边角是多少？”

 

“肘”是一种古埃及的长度单位，也被称为腕尺，一般长18英寸（457mm）。

图3 一肘的长度

 

Ahmes用金字塔底部边长的一半与高度的比值表示边角，他把这种角度测量命名为seked，用它来表示倾斜面的斜率，现在我们知道seked就是边角的余切。

图4  金字塔边角的测量方案

 

在欧几里得《几何原本》中（成书于公元前300年左右），命题12和13本质上给出了钝角和锐角余弦公式。如命题12为：

在钝角三角形中，钝角所对边的正方形（平方的意思）等于钝角两边的正方形之和在加上钝角边乘以该钝角边向外延伸，被该边上垂线截断部分的长。

 

如图5所示，△ABC为钝角三角形，BH垂直于AC的延长线于H点。则余弦公式为

AB²=AC²+BC²+2(AC)(CH)

这里，CH=(BC)cos(π-γ)=(BC)cos(γ)，将其代入上式，就是我们熟知的余弦公式。

图5 欧几里得余弦定理

 

公元前3世纪，阿基米德提出了断弦定理，相当于现在三角函数的和差化积公式。断弦定理描述为：

 

如图所示，设AB和BC组成了圆上的断弦，有BC >AB，若M是ABC弦的中点，过M作BC的垂线，垂足为D，则有AB+BD=DC

图6 和差化积示意图

 

上述公式经推导后等价于和差化积公式（证明可参见图6）：

 

sin(x-y)=sinxcosy- cosx siny

 

约公元100年前后，希腊数学家、天文学家Menelaus (ca. 70-140)撰写了三卷的《球面学》（约公元98年），在第一卷中，他建立了球面三角形的原理，他发现在球面上，三角形只要对应角相等，两个球面三角形就相等，而且球面三角形的内角和大于180度。这似乎已经是非欧几何了。

 

罗马时期生活于亚历山大的托勒密（Claudius Ptolemy，约90-168）在他的《天文学大成》（Almagest）中扩展了喜帕恰斯的和弦表，托勒密以1/2增量，给出了从1/2度到180度的和弦表。托勒密的和弦表借助于托勒密定理验算，该定理给出了圆内接四边形的四边与两条对角线之间的关系，如图7所示，四边与对角线的关系为

图7 托勒密定理循环四边形

 

只需令AB、BC和CD分别对应所对应的内接角（圆周角）分别为α，β，γ，利用圆心角是圆周角的两倍，设圆半径为r，则有

AB=2rsinα， BC=2r sinβ   CD=2rsinγ

AD=2rsin(180^o-(α+β+γ))   

AC=2rsin(α+β)    

BD=2rsin(β+γ)

代入托勒密定理，即可得

也就是我们现在熟悉的积化和差公式，差别只是托勒密使用的是和弦，而不是我们熟悉的正弦和余弦。托勒密还得到了半角公式的等价形式：

当然有了积化和差，就很容易导出半角公式。由于毕达哥拉斯已经知道了毕达哥拉斯定理，在三角运算中，很容易由毕达哥拉斯定理导出三角恒等式，即

公元4-5世纪，三角学在印度得到了非常重要的发展，在一本名为Siddhānta（译为：悉达多，字面意思为“既定的意见、教义、公理或被承认的真理”）的天文学著作中正确的给出了正弦的定义。而后，印度数学家、天文学家Aryabhata（公元 476-550）在他的著作Aryabhatiya中以jya表示正弦sin，kojya表示余弦cos，utkrama-jya表示正矢（1减去某角度的余弦，即1-cosθ），otkram jya 表示反正弦arcsine。

 

公元9世纪时，阿拉伯-波斯数学家、天文学家花刺子密（Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī，c. 780–c.850）第一次做出了正切表；阿拉伯马尔瓦齐（Ahmad ibn 'Abdallah Habash Hasib Marwazi, 766 - 869）给出了余切，并完整的应用了正弦、余弦、正切、余切；巴塔尼（Al-Battani, c.858–929）发现了正割(sec)和余割(csc)函数，并制作了第一张从1°到90°每个度数的余割表。至此，六个三角函数全部具备了，三角函数之间的相互运算（如和差化积、积化和差）也具备了。

图8  三位阿拉伯数学家、天文学家

三角函数的另一个问题在于如何计算三角函数的值。在古文明中，有关三角函数的计算多需要借助和弦表，或各类三角函数表，这说明三角函数的计算并不容易。到公元7世纪时，印度数学家和天文学家Bhāskara I(c.600–c. 680)给出了正弦函数的近似公式，第一次拥有了不用查表获得三角函数值的方法，如

后来有学者证明上述公式的求解误差小于1.9%。现在我们可以用泰勒级数展开求解三角函数可以获得更加准确的解，如

我们知道泰勒级数是基于导数运算的，令人惊讶的是，印度学者Bhaskara II（c. 1114–1185，和前面的Bhāskara I没有关系）和Madhava（c. 1340 – c. 1425）早于牛顿和莱布尼兹给出了微积分的某些思想。

如Bhaskara II在处理行星运动时给出了类似于导数的方法求解瞬时速度，设x和y是非常接近的两个数，Bhaskara II给出了如下公式：

上述公式就具有了导数的函数。用我们今天的语言来说，当y趋近于x时，正弦函数的导数为

尽管BhaskaraII没有提出导数的概念，但显然，他已经知道了导数的运算，这比牛顿和莱布尼兹早了近500年。此外，和差化积的现代形式也由Bhaskara II给出。

 Madhava发现了正弦、余弦、反正切的三角函数的无穷级数，这很像泰勒级数展开式。假设知道某角度θ的正弦、余弦值，即可利用Madhava级数求出该角度的大小，如下

这一定理于1667年被苏格兰数学家James Gregory（1638-1675）从新发现，被写为

这里，x=tanθ。Madhava的正弦和余弦级数也在17世纪由牛顿和莱布尼兹重新发现，1748年欧拉给出了欧拉公式，如

显然，欧拉公式的出现使得三角函数的运算得到了大大的简化。1807年，傅里叶建立傅里叶级数之后，三角函数的应用就从单纯的测量转向了电气工程、振动分析、声学、光学、计量经济学等多领域，最终使得三角函数——这一世界性课题以它的现代形式服务于科技进步！

参考文献：

莫里斯.克莱因. 古今数学思想（第一册）

Maria Drakaki. FROM THE THEOREM OF THE BROKENCHORD TO THE BEGINNING OF TRIGONOMETRY.

https://www./science/trigonometry

https://en./wiki/History_of_trigonometry