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前面介绍了正弦和余弦函数的n倍角公式(用棣莫弗公式推导三角函数的n倍角公式)：
欧拉在《无穷分析引论》中还用它们推导出了三角函数的幂级数展开式，方法如下。 设nθ=x，并对上述两式等号两端分别求n→＋∞时的极限即可得到所求结果。对于第一个等式等号右端的部分，有上式就是余弦函数幂级数展开式，同理可得正弦函数的幂级数展开式 通过幂级数的除法也可以由正弦函数和余弦函数的展开式得到其他三角函数的幂级数展开式。值得注意的是上面将求级数的极限转化为求各项极限之和，即交换求函数极限与级数求和的顺序，事实上交换顺序后结果并不一定相等，但这里确实是相等的。 另外还可以通过固定θ值，按照前面介绍的广义二项式定理的推导方式将自然数n推广到任意实数求出无穷级数。还可以按照求三角函数无穷级数的方法求出双曲函数(三角函数的近亲——双曲函数)的无穷级数，进一步求出指数函数的无穷级数。 可以用上述三角函数的无穷级数展开式的前面有限项之和估算三角函数值，通常选取的项数越多越精确，在[0,π/2]区间内取前面几项计算一般就足够精确。
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