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引言 角平分线定理1：角平分线上的点到角两边的距离相等； 说明：角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。 角平分线定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 说明：角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。 角平分线定理的证明 定理1的证明： 如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，求证：BD=CD。
∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C ∴∠ABD=∠ACD=90° 又 AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴CD=BD 故原命题得证。 定理2的证明： 如图，在△ABC中，AD平分角BAC，求证：AB:AC=BD:CD；
方法1：等面积法
过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G。 则有：2S△ABD=BD*AG=AB*DE；2S△ACD=CD*AG=AC*DF； 所以：BD:CD=AB:AC 方法2：相似法
作CE∥AB交AD的延长线于点E 则：∠E=∠BAD，又∵AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD 所以：∠E=∠CAD，所以CA=CE 因为AB∥CE，所以△ADB∽△EDC 所以：AB:CE=BD:CD 所以：AB:AC=BD:CD 角平分线定理的应用 例题1：如图，在等腰RT△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，求tan∠BAD；
即：tan∠BAD=tan22.5°=√2-1 例题2：如图，在RT△ABC中，CB:AB=3:4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，求tan∠BAD；
即：tan∠BAD=7/16 在一些几何综合计算的题目中，用角平分线定理可以轻松的解决很多问题。 |
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