辽宁省大连市2021年中考数学（答案＋解析）

一、单选题

1．－5的相反数是(        )

A．                       B．                          C．5                           D．-5

2．某几何体的展开图如图所示，该几何体是（　　）

A．        B．   C．          D．

3．2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪念章数7100000用科学记数法表示为（　　）

A．                 B．                 C．                 D．

4．如图，，，垂足为E，若，则的度数为（　　）

A．40°                        B．50°                        C．60°                        D．90°

5．下列运算正确的是（　　）

A．              B．             C．          D．

6．某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人该健美操队队员的平均年龄为（　　）

A．14.2岁                  B．14.1岁                   C．13.9岁                  D．13.7岁

7．下列计算正确的是（　　）

A．          B．             C．                 D．

8．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）

A．    B．   C．    D．

9．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转90°得到，点B的对应点在边上（不与点A，C重合），则的度数为（　　）

A．                         B．                  C．                 D．

10．下列说法正确的是（　　）

①反比例函数中自变量x的取值范围是；

②点在反比例函数的图象上；

③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

A．①②                       B．①③                        C．②③                       D．①②③

二、填空题

11．不等式的解集是__________．

12．在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'，则A'的坐标为______．

13．一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2．随机摸取一个小球后，放回并摇匀，再随机摸取一个小球，两次取出的小球标号的和等于4的概率为__________．

14．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________．

15．如图，在菱形中，，点E在边上，将沿直线翻折180°，得到，点B的对应点是点若，，则的长是__________．

16．如图，在正方形中，，点E在边BC上，点F在边的延长线上，设，，当时，y关于x的函数解析式为__________．

三、解答题

17．计算：．

18．某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活氛围红歌演唱、诗歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛，要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动为了解学生参加活动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

活动项目	频数（人）	频率
红歌演唱	10	0.2
诗歌朗诵
爱国征文
党史知识竞赛		0.1

据以上信息，回答下列问题：

（1）被调查的学生中，参加红歌演唱活动的学生人数为__________人，参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为__________%；

（2）本次调查的样本容量为__________，样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为__________人；

（3）若该校共有800名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生人数．

19．如图，点A，D，B，E在一条直线上，，．

求证：．

20．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．

（1）求大、小两种垃圾桶的单价；

（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？

21．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆的高度．（结果取整数）

（参考数据：，，；，，）

22．如图1，内接于⊙O，直线与⊙O相切于点D，与相交于点E，．

（1）求证：；

（2）如图2，若是⊙O的直径，E是的中点，⊙O的半径为4，求的长．

23．某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中，

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？

24．如图，四边形为矩形，，，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿运动，设运动时间为t秒．

（1）求的长；

（2）若，求S关于t的解析式．

25．已知，，．

（1）找出与相等的角并证明；

（2）求证：；

（3），，求．

26．已知函数，记该函数图像为G．

（1）当时，

①已知在该函数图像上，求n的值；

②当时，求函数G的最大值；

（2）当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若时，求m的值；

（3）当时，设图像与x轴交于点A，与y轴交与点B，过B做交直线与点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若，求m的值．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

根据相反数的定义解答即可.

【详解】

-5的相反数是5

故选C

【点睛】

本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键.

2．D

【解析】

【分析】

根据几何体的展开图可直接进行排除选项．

【详解】

解：由该几何体的展开图可知该几何体是圆锥；

故选D．

【点睛】

本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握简单几何体的展开图是解题的关键．

3．C

【解析】

【分析】

根据科学记数法可直接进行排除选项．

【详解】

解：数7100000用科学记数法表示为；

故选C．

【点睛】

本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．

4．B

【解析】

【分析】

由题意易得，，然后问题可求解．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选B．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．

5．B

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算可直接进行排除选项．

【详解】

解：A、，错误，故不符合题意；

B、，正确，故符合题意；

C、，错误，故不符合题意；

D、，错误，故不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算是解题的关键．

6．C

【解析】

【分析】

根据平均数的求法可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：

（岁）；

故选C．

【点睛】

本题主要考查平均数，熟练掌握求一组数据的平均数是解题的关键．

7．B

【解析】

【分析】

根据二次根式的运算及立方根可直接进行排除选项．

【详解】

解：A、，错误，故不符合题意；

B、，正确，故符合题意；

C、，错误，故不符合题意；

D、，错误，故不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题主要考查二次根式的运算及立方根，熟练掌握二次根式的运算及立方根是解题的关键．

8．D

【解析】

【分析】

根据题意及一元二次方程增长率问题可直接进行排除选项．

【详解】

解：由题意得：；

故选D．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程方程的应用是解题的关键．

9．C

【解析】

【分析】

由旋转的性质可得，，进而可得，然后问题可求解．

【详解】

解：由旋转的性质可得：，，

∴等腰直角三角形，

∴，

∴；

故选C．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

10．A

【解析】

【分析】

根据反比例函数的图象与性质可直接进行判断求解．

【详解】

解：①反比例函数中自变量x的取值范围是，正确；

②把代入反比例函数得：，

∴点在反比例函数的图象上，正确；

③由反比例函数可得，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，错误；

∴说法正确的有①②；

故选A．

【点睛】

本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．

11．

【解析】

【分析】

根据一元一次不等式的解法可直接进行求解．

【详解】

解：

，

解得：，

故答案为．

【点睛】

本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．

12．（2，3）

【解析】

【分析】

利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律求解可得．

【详解】

解：点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'的坐标为（2，3），

故答案为：（2，3）．

【点睛】

本题主要考查坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）

13．

【解析】

【分析】

根据题意可画出树状图，然后问题可求解．

【详解】

解：由题意可得树状图：

∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为；

故答案为．

【点睛】

本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．

14．6x+14=8x

【解析】

【分析】

设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列出方程，即可．

【详解】

解：设有牧童x人，

根据题意得：6x+14=8x，

故答案是：6x+14=8x．

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．

15．

【解析】

【分析】

由题意易得，，则有，进而根据折叠的性质可得，，然后根据三角形内角和可得，最后根据等腰直角三角形的性质可求解．

【详解】

解：∵四边形是菱形，

∴，

∵，

∴，是等边三角形，即，

∵，

∴，

由折叠的性质可得，，，

在中，由三角形内角和可得，

∴，即，

∴是等腰直角三角形，

∴；

故答案为．

【点睛】

本题主要考查菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．

16．

【解析】

【分析】

过点E作EH⊥AF于点H，由题意易得AB=EH=2，BE=AH=x，然后根据勾股定理可求解．

【详解】

解：过点E作EH⊥AF于点H，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∴四边形是矩形，

∵，，

∴

∵，，

∴，

在Rt△EHF中，由勾股定理可得，

化简得：，

∴当时，y关于x的函数解析式为；

故答案为．

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、勾股定理及函数，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及函数是解题的关键．

17．1

【解析】

【分析】

根据分式的运算法则可直接进行求解．

【详解】

解：原式=．

【点睛】

本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．

18．（1）10，40；（2）50，5；（3）参加诗歌朗诵活动的学生人数为240人．

【解析】

【分析】

（1）根据题意及统计图可直接进行求解；

（2）由题意可直接进行求解；

（3）由题意易得参加诗歌朗诵活动的学生占被调查学生总人数的百分比为30％，然后问题可求解．

【详解】

解：（1）由题意得：

参加红歌演唱活动的学生人数为10人，参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为40%，

故答案为10，40；

（2）由题意得：

样本容量为10÷0.2=50（人），

样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为（人）；

故答案为50，5；

（3）由题意得：

（人）；

答：参加诗歌朗诵活动的学生人数为240人．

【点睛】

本题主要考查扇形统计图及频率，熟练掌握扇形统计图及频率是解题的关键．

19．见详解

【解析】

【分析】

由题意易得，进而易证，然后问题可求证．

【详解】

证明：∵，

∴，即，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

20．（1）大垃圾桶单价为180元，小垃圾桶的单价为60元；（2）2880．

【解析】

【分析】

（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可．

（2）根据第（1）问求得的大小垃圾桶的单价计算即可．

【详解】

（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，

由题意列方程得，

解得，

答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．

（2）．

答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．

【点睛】

此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是分析出题目中的等量关系．

21．7m

【解析】

【分析】

分别在中和中，利用正切三角函数的定义，求出AC，BC进而即可求解．

【详解】

∵在中，tan∠ADC=，即：tan57°=，

∴AC=1.540×DC=1.540×20，

∵在中，tan∠BDC=，即：tan50°=，

∴BC=1.192×DC=1.192×20，

∴AB=AC-BC=1.540×20-1.192×20=6.96m≈7m

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握正切三角函数的定义，是解题的关键．

22．（1）见详解；（2）

【解析】

【分析】

（1）连接OB，由题意易得，则有，进而可得，然后问题可求证；

（2）由题意易得，进而可得，然后再根据勾股定理可求解．

【详解】

（1）证明：连接OB，如图所示：

∵直线与⊙O相切于点D，

∴，

∵，

∴，

∵OD是⊙O的半径，

∴，

∴，

∵，

∴；

（2）∵E是的中点，

∴，，

∴，

∴，

∵⊙O的半径为4，

∴，

∵是⊙O的直径，

∴，

∴AB=4，，

∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：．

【点睛】

本题主要考查切线的性质、三角函数、含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质、三角函数、含30°的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．

23．（1）y关于x的函数解析式为；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．

【解析】

【分析】

（1）由图象易得和，然后设y关于x的函数解析式为，进而代入求解即可；

（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解．

【详解】

解：（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得：

，解得：，

∴y关于x的函数解析式为；

（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得：

，

∴-2＜0，开口向下，对称轴为，

∵，

∴当时，w有最大值，即为；

答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．

24．（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意易得，然后根据勾股定理可求解；

（2）由题意易得①当点P在AB上时，即，则，②当点P在AC上，点Q在BC上时，即，过点P作PE⊥BC于点E，然后可得，③当点P与点C重合，点Q在CD上时，即，则有，进而根据面积计算公式可求解．

【详解】

解：（1）∵四边形是矩形，

∴，

∵，，

∴；

（2）由题意得当点P到达点C时，点Q恰好到达点C，则有：

当点P在AB上时，即，如图所示：

∴，

∴；

当点P在AC上，点Q在BC上时，即，过点P作PE⊥BC于点E，如图所示：

∴，

由（1）可得，

∴，

∴；

当点P与点C重合，点Q在CD上时，即，如图所示：

∴，

∴；

综上所述：S关于t的解析式为．

【点睛】

本题主要考查矩形的性质、勾股定理、三角函数及函数，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、三角函数及函数是解题的关键．

25．（1）（2）见解析（3）

【解析】

【分析】

（1）根据三角形外角的性质直接求解即可；

（2）在BF上截取BP，使AE=BP，即可证明，进一步证明和均为等腰三角形且顶角相等，即可证明；

（3）由（2）可得，即可得，设，则，根据，可求得，即可证明，列比例求出，代入以上数据即可求得的值．

【详解】

（1）根据题意可知，

，

，

；

（2）如图，在BF上截取BP，使AE=BP，

由（1）得，

即，

在和中，

，

，

，

，

，

，

即，

，

，

和均为等腰三角形，

又，

，

和为顶角相等的等腰三角形，

，

；

（3）又（1）可知，

，

，

设，则，

，

，

，

则，

，

，

，

，

，即，

由此得，

则，

．

【点睛】

本题主要考查三角形综合，涉及到的知识点有，等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，根据题意用含字母的式子表示出AE和MF的值是解题关键．

26．（1）①，②函数G的最大值为；（2）；（3）或

【解析】

【分析】

（1）由题意易得，①把点代入求解即可；②根据二次函数的性质可进行求解；

（2）由题意可得如图所示，然后可得，是等腰直角三角形，则有，进而代入求解即可；

（3）由题意可得如图所示，则有，然后可得，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，进而易证，然后根据全等三角形的性质可求解．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

①∵在该函数图像上，

∴；

②由题意得：当时，函数G的解析式为，当时，函数G的解析式为，

∵，

当时，则，

∴当时，函数G有最大值，即为；

当时，则有函数G的最大值为，

∵，

∴当时，函数G的最大值为；

（2）由当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，可得点Q必定落在的函数图象上，如图所示：

∴，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，化简得：，

解得：，

∵，

∴；

（3）①当时，由题意可得如图所示，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，

∴，

令y=0，则有，解得：，

∵，

∴，

由题意得：，四边形DOEC是矩形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，化简得：，

解得：（不符合题意，舍去），

∴；

②当时，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示：

∴令y=0，则有，解得：，

∴，

同理可得，

∴，化简得：，

解得：（舍去）；

综上所述：或．

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．