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对称矩阵是最重要的矩阵之一，特征值和特征向量是研究对称矩阵的重要手段，它的特征值和特征向量具有特殊性。前几讲内容所述，特征值和特征向量表征了矩阵若干性质，那么对称矩阵这种特殊矩阵，它的特征值和特征向量一定有若干特性。正如马尔科夫矩阵，它的特征值有一个是1。本文我们将学会通过特征值和特征向量了解矩阵。 对于实对称矩阵，它的特征值都是实数，它的特征向量能挑选出一组正交的。通常情况下，矩阵A可以写成， 但对于对称矩阵，因特征向量标准正交构成矩阵Q的列向量，Q的逆等于其转置，这同样是矩阵分解方法之一，对称矩阵=正交矩阵×对角矩阵×正交矩阵转置。该公式也满足对称矩阵转置后仍是本身的特性，充分体现了特征值、特征性量、对称矩阵关系，该分解公式在数学上也叫做谱定理，谱Spectrum是指矩阵的特征值集合，在力学上称为主轴定理。
我们从Ax=λx开始推导，这里特征值λ和特征向量可能为复数，现在需要证明它不可能是复数；这里我们讨论的矩阵是实矩阵，给定一个方程Ax=λx，假设它总是成立，对每一部分取其共轭复数，也就是说，所有i部分都变成-i,等式依然成立，利用对称矩阵性质进行转置，然后两边点积x,我们知道x转置和x内积表示平方长度，而x共轭转置与x的内积也是一个重要的量，若x是复数向量时，这是一条非常重要的复数性质，这个乘积说明，如果给定一个复数向量，这个复数乘以其转置共轭，这个量是非负数，也表示其长度平方，所谓，性质好的矩阵，是针对实数矩阵，相对复数矩阵而言，是指特征值为实数，特征向量互相垂直的矩阵。
根据前文，对于对称矩阵，Q是特征向量矩阵，另外一种展开方法，每一个对称矩阵都能分解成这种形式，每一个对称矩阵都是一些互相垂直的投影矩阵的组合。接下来看看关于特征值的一些性质，对于对称矩阵，它的特征值是实数，但正负还无法确定，对于微分方程来说，这决定着状态是否稳定。就对称矩阵而言，主元的符号与特征值的符号一致，即正主元的个数等于正特征值的个数，这提供了一个计算特征值的好方法；此外，主元的乘积等于特征值的乘积。正定矩阵，是针对对称矩阵，所有的特征值都是正数，所有的主元都是正数，行列式值也是正数，所有子行列式都是正数。这些性质，在进行微分方程计算时非常有用，有便于判断是否稳定。这里，主元、行列式、特征值将方阵融合在一起。
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