【原】Bazinga | 向量叉乘与对偶性

作者介绍：

加州大学圣塔芭芭拉分校数学物理专业

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写在前面

应同学请求，更一篇向量的文章. 据这位同学所说，很多学物理的学生都不知道洛伦兹力和磁场方向实际上是由向量乘法（叉乘）得出的. 我记得之前也看过这样的一个回答，好像说的是中国教育最失败的学科是什么，有人回答物理，并且给出了这个例子. 对此我表示怀疑. 不过想到自己在学习过程中也遇到过关于向量乘法的困惑，而且正好有人需要这篇文章就开更了.

这篇文章首先会先讲解一些必要的线性代数知识. 线性代数，尤其是行列式对部分同学可能理解难度较大，但是他们在深入了解向量乘法的过程中起到了非常重要的作用，所以学习一些线性代数的知识是十分有必要的. 我也会用尽可能简单的语言讲解.

在接下来的章节中，我会讲解叉乘的几何意义，并且建立叉乘的代数/几何联系. 最后我们会涉及到一个数学中非常优雅的思想，也就是对偶性（主要受到了三蓝一棕的启发并总结他的讲解）.最后由于一些读者可能不熟悉线性代数，后面会附上一些学习资料.

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目录

0.一点必要的线性代数

1.向量叉乘的代数/几何意义

2.叉乘的对偶性

3.附录

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00

一点必要的线性代数

0.1向量的表示方法

0.2向量的点乘

0.3矩阵与线性变换

0.4行列式

图片来自 Introduction to Linear Algebra 5ed-Gilbert Strang

图片来自 Introduction to Linear Algebra 5ed-Gilbert Strang

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01

向量叉乘的代数/几何意义

图片来自www.bing.com

图片来自www.bing.com

图片来自www.mathsisfun.com

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02

叉乘的对偶性

到目前为止，有两个非常让人困惑的问题，也是两个非常值得思考的问题：

I. 为什么在0章节我们明明说了3*3的行列式是用来计算平行六面体的体积的，这里却用来定义向量的叉乘？为什么得到的结果不是体积而是平行四边形的面积？

在本章节中我会解释这个问题. 这是一个非常具有思维深度的问题. 三蓝一棕大佬为这个问题提出了一个很完美的解答. 我的想法和他类似，但是这里主要概括一下他的解释，因为他的解释更加系统化.

首先我们需要先了解对偶性. 对偶性是线性代数中一个非常重要的概念. 然而，对偶性却不仅仅存在于线性代数中，它存在于无数的数学分支中. 对偶性指出，两个看似截然不同的数学概念可能有深刻的内在联系. 对偶性是一种很优雅的数学现象. 这个问题就是对偶性的一个很好的例子.

首先我们考虑一个行列式:

图中x,y两个向量是固定的，z是可以变化的向量，对应图中的a,b和(x,y,z)图片来自Linear Algebra with Applications, 9th Edition by Steven J. Leon

图片来自Stewart Calculus，经过笔者加工

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03

附录

书本

Introduction to Linear Algebra 5ed, Gilbert Strang, 2016, Wellesley-Cambridge

Linear Algebra with Applications, 9th Edition,  Steven J. Leon

公开课

MIT 18.06 Introduction to Linear Algebra

Linear Algebraocw.mit.edu

视频

Essence of linear algebra — 3Blue1Brownwww.3blue1brown.com

引用

[1]Introduction to Linear Algebra 5ed, Gilbert Strang, 2016, Wellesley-Cambridge

[2]Linear Algebra with Applications, 9th Edition,  Steven J. Leon

[3]Calculus, Early Transcendental, 8ed, James Stewart

[4]The Essence of Linear Algebra, 3Blue1Brown