【原】一题多解 | 全等、相似、四点共圆各显神通

这是重庆一中2016年初三一诊考试的几何证明题，尤记得当年解这道题的点点滴滴，当初用旋转全等、弦图构造全等、相似三种方法证明出了这道题的第1问。昨天又把这道题拿出来讲了一遍，得益于集思广益，又增加了两种方法，在此总结出来（以下主要总结第一问）。

原题重现：在△ABC中，AC=BC，D是边AB上一点，E是线段CD上一点，且∠AED=∠ACB =2∠BED．

方法1：共顶点等线段旋转全等

同理，我们也可以旋转△ACE

共顶点，等线段，想旋转，是做这种几何证明题的基本思路；可以再回顾一下解题思路：几何模型 | 共顶点等线段旋转全等

方法2：弦图全等构造

因为等腰RT△ABC，且AE⊥CD，所以辅助线联想到弦图的构造。可以再回顾一下弦图构造的方法：几何模型｜弦图的构造及应用

方法3：直接证明三角形相似

辅助线的构造思路，应该是最先能想到的，因为已知AB= √2BC，又要证明AE= √2BE，所以联想证明△AEB∽△BEC。

方法4：四点共圆倒角证等腰RT△

（以上思路由蓝洋、高允阳老师提供）

方法5：相似倒角证等腰RT△

（以上思路由万春晖老师提供）

以上五种方法，很好的诠释了几何证明“仁者见仁智者见智”，不管是旋转构造全等，还是弦图构造全等，或者是相似证明线段关系，还是通过四点共圆倒角，抑或是通过相似三角形倒角，都给大家提供了很好的思路。