本文既可作为老少皆宜的休闲文章来看,也可作为本科生速成期末考试的灵丹妙药(笑) 庞加莱 我们接着讲微分方程,今天的主要内容是换元法,换元法就是用一种变量替换掉原来的变量,从而达到化简问题的目的。 上一讲我们讲了微分方程得基础知识,想必大家已经清楚了求解,通解,特解之间的关系。今天我们来看这样一个问题: 我们要做的事情还是把这个等式化成函数: 不过这次我并不想让大家直接去算,我们以dy/dx(y')为高度轴,x和y(f(x))分别为变量建立一个三维坐标系,我想让大家体会一下微分方程为什么被称为微分方程: z轴的物理意义是导数,x,f(x)轴各自独立变化 这个图反映的是导数y’和x,f(x)之间的变化关系,然而y和x之间依然存在其它的内在联系。它只能解析一部分信息,甚至里面的很多信息并不存在。 理解了这一点,大家就明白了求解微分方程的必要性,那就是让事情直观起来。 我们知道: 原式化简为: 合并同类项,可得: 我们说 c为任意常数 就是原方程的通解,它是一簇曲线。 C随便取一个具体的数,叫原方程的特解。 这是一个什么样的曲线簇呢?(我只画一个特解给大家看看样子) 可以说,我们把复杂的多变量函数简化成了简单的单变量函数: 理解了上面那个问题,我们再来看一个微分方程: 你不觉得这个微分方程很有趣吗? 我们依然以dy/dx(y')为高度轴,x和y(f(x))分别为变量建立一个三维坐标系: z轴的物理意义是导数,x,f(x)轴各自独立变化 这个图反映的还是导数y’和x,f(x)之间的变化关系,然而y和x之间依然存在其它的内在联系。它只能解析一部分信息,甚至里面的很多信息并不存在。 好了,现在我们来计算它的解析解: 原式可以变形为这样, 大家看看,前人是多么有智慧啊,我们虽然学的来知识,却学不来智慧: 整理可以得到: 对上面这个公式两边同时积分: 把u换成x+y,可得: 算到这里,我们似乎难以继续往下算了,它是隐函数,就是说y包含在了x和y的同时变化里,想把这个等式化成y=f(x)是非常困难的。 我们就用软件看看这个函数长什么样子吧: |
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