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小学阶段特别是高年级要逐步引导学生从“做数学”“算数学”过渡到“想数学”，在学习数学知识的同时发展数学思维，这样学生才有后劲。 ——林俊 林特说的很真理啊！以下文章来自林特。 课前思考 凡是教过高年级的教师都有这样的体会：分别学习圆柱、圆锥的体积时，关于体积公式推导过程的理解和公式的运用，学生“清清爽爽”，基本没有什么问题。但是，一旦将圆柱、圆锥体积的有关内容交织在一起，学生就会“混沌一片”，错误百出。为什么会发生这样的情况呢？除了问题难度增加外，另一个原因就是教材习题编排。事实上，几乎没有教材在编写时对圆柱、圆锥体积的关系大书特书。即使像苏教版教材，编排了不少巩固圆柱、圆锥体积关系的习题，但是从编排结构看也是比较凌乱的（如下表）。
怎样突破这个公认的学习难点呢？一般教师采取的方法是分类解决，各个击破，通过各种题型的反复练习达到攻坚克难的目标。但是这样依靠模仿、记忆强化训练的学习方式负面作用很多，不仅容易回生，而且不能迁移，所以这种做法应该坚决摒弃。我的做法是正本清源，以简驭繁！即返回到相关知识起点，建立基本模型，帮助学生内化基本模型，真正理解各种基本模型的内在关系，实现从“多点结构”到“关联结构”的跨越，从而以不变应万变。 课堂实践 一、唤起回忆，扩展模型 师：今天练习圆柱和圆锥的体积，什么是体积？怎样求圆柱的体积？圆锥的体积呢？圆锥的体积是怎样推导出来的？（课件同步动态演示圆锥体积公式推导过程，板书：等底等高） 师：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积比是多少？（贴出大圆柱 圆锥 如图1）也就是一个圆柱可以换成几个这样的圆锥？（课件演示如图2）
师：反过来，圆锥体积是这个圆柱的—— 生（齐）：三分之一。 师：这个圆柱的三分之一有多大？想一想，是这样吗？（课件演示如图3）
生（众）：是。 师：这个小圆柱和圆锥有什么关系？ 生：体积相等，底面积也相等，小圆柱的高是圆锥的三分之一。（板贴如图4） 师：为什么小圆柱的高是圆锥的三分之一？ 生（指着图3）：因为大圆柱和圆锥的高相等，装满水的圆锥倒三次正好把大圆柱倒满，倒一次水的高度（也就是小圆柱的高度）等于大圆柱的三分之一，所以小圆柱的高是圆锥的三分之一。 生（兴奋地）：我看出来了，小圆柱、圆锥的高都跟大圆柱比较，小圆柱的高是大圆柱的三分之一，大圆柱和圆锥的高相等，所以小圆柱的高是圆锥的三分之一。 师：结合图形说理，明明白白！理解了它们的关系，可以帮助我们灵活思考。 【设计意图】学生对于等底等高圆柱和圆锥的关系，一般只是停留于体积之间关系的理解，这是基于实验的直观理解水平。显然，这样的认识是单一的、浅层的。学生高阶思维的发展、解决问题能力的提高，需要以不断积累的鲜明、灵活的关系模型作为支撑，而抽象的关系模型总是依附于直观的表象。上述教学从正、逆两个方向进行了追问，生成的变式模型拓展了学生原有的认识疆域，尤其是从“体积比”到“高之比”，触及到了学生的认知盲区，可以深化、活化学生的认知水平。 二、多元表征，理解模型 1.在解决问题中理解 出示习题：一个圆柱和一个圆锥，底面半径都是3厘米，高都是12厘米。它们的体积一共有多少立方厘米？（你能用不同的方法思考吗？） （1）提出要求，独立思考。要求：只列出综合算式，不计算。 （2）展示作业，交流方法。 生1：32π×12+1/3×32π×12 师：你是怎样想的？ 生：圆柱的体积加上圆锥的体积。 生2：1/3×32π×12 ×（1+3） 师：括号里1+3指的是什么？ 生：把圆锥体积看成1份，圆柱体积有这样的3份，体积和就是4份。 生3：32π×12 ×（1+1/3） 师：为什么乘（1+1/3）？ 生：把圆柱体积看成单位“1”，圆锥体积占1/3，体积和相当于圆柱体积的4/3。 生4：32π×（12+12×1/3）。 师：12×1/3表示什么？12+12×1/3表示什么？ 生：（指图4）把圆锥想象成一个和它等积等底的小圆柱，12×1/3就是这个小圆柱的高，12+12×1/3就是求组合成的圆柱高。（如图5）
师：有用减法做的吗？ 生5：32π×12×2-1/3×32π×12×2，上面的圆锥看成与它等底等高的圆柱削成的，圆锥体积是1份，削去了这样的2份。用2个圆柱体积减去2个圆锥体积。（如图6）
师：大家的想象力真丰富！无论是将圆柱想象成圆锥，还是将圆锥想象成圆柱，其实都是一种转化，转化思想可以帮助我们更好地学习数学。 【设计意图】大多数学生对待数学问题解决的态度是会不会做，而不太注重问题解决的过程中所用思想方法及其变化。上述问题“门槛”很低，几乎每个学生都能用基本的方法解答。但是从学生运用“转化”思想解决问题的过程中，可以明显看到学生之间思维水平的巨大差异。表象储备丰富、模型理解深刻的学生，能够根据题目信息主动唤起表象、提取相关模型，从不同角度转化，他们解决问题显示出方法多样、思维灵活、见解独特的特征。通过课堂展示、对话、互动，可以打开学生理解的“天窗”，促进学生思维的“爬坡”。 2.在多元表征中理解 出示：一块圆柱形橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。 （1）把它捏成底面积是15平方厘米的圆锥形，高是（ ）厘米。 师：（先出示：把它捏成圆锥形）这时形状变了，什么肯定不变？ 生：体积不变。 师：对，这叫等积变形。（再出示：底面积是15平方厘米）现在呢？ 生：底面积不变，高变了。（板书：等积等底） 师：想象一下，这个圆锥会是怎样的呢？看第一个圆锥，会是它吗？为什么？第二个圆锥呢？第三个是你想象中的样子吗？（依次出示图7中的三个圆锥）
师：在底面积相等的前提下，要使体积不变，应该将圆锥的高变大。圆锥的高变大到多少才可以呢？请列式计算。 生：15×6×3÷15=18（厘米），或6×3=18（厘米）。 师：这两个算式有联系吗？ 生：第一个算式中的乘15、除以15抵消后，就是6×3。 师：是不是所有等积等底的圆柱和圆锥的高之比都的1:3？ 生（意见不一）：是，不是。 师：这个圆柱是怎样慢慢变成这个高高的圆锥的？请你大胆想象。 生：圆柱先变成3个等底等高的圆锥，接着再把它们叠起来。 师：这3个圆锥怎样变成这个大圆锥呢？ 生：每个小圆锥体积是它所在圆柱的三分之一，叠起来的3个小圆锥体积是它所在大圆柱的三分之一，而这个大圆柱体积的三分之一就是大圆锥的体积。（学生回答过程中，动态出示图8）
师：这样的想象是不是一定有道理呢？ 部分学生还是不敢肯定。 师：我们不妨结合公式思考，圆柱体积V=Sh，等于一个圆锥体积V=1/3Sh，再乘3，即V=Sh =1/3×S×h×3，变形之后也就是1/3×S×（h×3），那么高就是原来的3倍。 【设计意图】圆柱和圆锥的三类基本关系模型中，等底等高学生比较熟悉，就数等积等底与等积等高容易混淆。为了分散难点，先重点讨论等积等底的情形。而等积等底难点的突破，仅仅依赖一次数学活动，力度显然不够，学生印象也不深刻。故，引导学生充分经历想象、计算、比较、质疑、推理等数学活动，不仅通过多元表征使学生对有关结论理解通透，而且运用公式进行数学推理，使学生对结论本身更加笃信无疑。这样教学，培养了学生的求真品格和理性精神。 师：刚才我们研究了等底等高、等积等底两种情况，还有其它情况吗？ 生（众）：等积等高。 （2）出示：把它捏成高是6厘米的圆锥形，底面积是（ ）平方厘米。 师：先自己想一想，列式或画图表示思考过程，再和同桌交流。 生：圆柱形橡皮泥捏成圆锥，体积不变；在高不变的前提下，要使体积相等，应该将底面积扩大到原来的3倍，15×3=45（平方厘米）。 生：15×6×3÷6=45（平方厘米）。 师：好奇怪！这个圆柱怎样慢慢变成这个扁扁的圆锥的？ 生：把圆柱换成3个等底等高的圆锥，再把它们并排靠在一起，就可以变成一个大圆锥。（如图9）
师：如何运用公式进行推理？ 生：圆柱体积V=Sh，是与它等底等高圆锥体积的3倍，也就是1/3 Sh×3，可以转化为1/3×h×（S×3），也就相当于高不变，底面积是3S的大圆锥体积。因此，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。 师：在体积相等、高也相等的前提下，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。（板贴如图10）
师：今天我们又讨论了等积等底、等积等高的情况，运用这些结论，可以帮助我们方便地解决更复杂的问题。 【设计意图】有了等积等底的学习经验，等积等高的情形教师就大胆放手了，学生可以把习得的有关经验、方法迁移过来，进行类推。同时，计算、想象、推理等学习活动的安排，既完全符合学生由易到难的学习特点，也满足了不同学生的认知需求。 3.在综合运用中理解 判断：下面的圆锥与哪些圆柱的体积相等。（单位：厘米）
师：请选择（在作业纸上打√），你选第几个？用手势表示。 绝大多数学生选择第③个，也有还选择第②个的。 师：为什么不选第①个和第④个？ 生：第①个圆柱和圆锥等底等高，因此圆柱体积是圆锥的3倍，第④个圆柱明显小多了。 师：为什么大多数人选择第③个？ 生：圆锥的高是圆柱的3倍，底面积又相等，符合等积等底的情况（如图4），所以它们体积相等。 师：你能反过来运用这个结论，真不简单！有疑问的第②个，怎样判断？ 生：高相等，如果两个体积相等，那么圆锥的底面积应是圆柱底面的3倍。而这里圆锥的直径是圆柱直径的3倍，想到圆锥半径是圆柱半径的3倍，圆锥底面积就是圆柱底面积的9倍。 师：如果有的同学还不够确定，我们不妨看看计算结果。（一一出示每个图形的体积计算过程与结果） 【设计意图】学生思维能力的提高，必须经过综合运用知识解决问题的历练过程。在学生进一步理解等积等底、等积等高的基本模型后，提供复杂问题情境，便于学生直接根据模型特征作出判断，或者经过简单计算，再与基本模型特征对照解决问题，而不是仅仅依靠计算这一唯一途径。实践证明，学生完全能够识别相应的模型，从而解决问题变得更加直接而快捷，这对培养学生判断能力和推理能力大有裨益。 三、拓展提升，活用模型 出示：一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1：6。 师：你能画图表示它们的体积比吗？ 巡视时，发现有的学生在给定的圆锥旁边，画了一个底面积相等的圆柱，但看不出高的关系；有的学生不仅画了一个底面积相等的圆柱，而且还从圆锥的顶点起向圆柱中间画了一条水平的虚线，使人一眼就看出高的关系；当然还有些学生思而不得。 当有的学生百思不得其解时，教师出示波利亚名言：“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？” 师：结合之前的图形或经验，体积比是几比几我们是非常熟悉的？ 生：体积比是1：3。（出示图12） 师：（引导学生看黑板上的三个模型图）还有吗？ 生（欣喜状）：图4其实还可以看做体积比是1：1的。（出示图13）
生（众，豁然开朗）：喔！ 师：现在你能画图表示它们的关系吗？ 学生独立画图，然后展示交流：（图14）
生：第一组它们底面积相等，体积比是1：3，要使体积比是1：6，要增加一个圆柱，因此圆柱的高应当是圆锥高的2倍。 生：第二组它们底面积也相等，体积比是1：1，要使体积比是1：6，要增加五个这样的小圆柱，因此圆柱的高也是圆锥高的2倍。 师：这时圆柱和圆锥的高什么关系？ 生：这时圆柱的高是圆锥的2倍，圆锥的高是圆柱的1/2。 师：如果圆锥的高是3厘米，圆柱的高是多少厘米？如果圆柱的高是12厘米，圆锥的高是多少厘米？ 师：如果圆锥和圆柱的底面积相等，体积比是1：9。高之间是几倍关系？ 【设计意图】在学生能够区分、运用等积等底与等积等高模型后，提供的拓展题具有一定的挑战性和开放性，为学生灵活运用模型解决问题创造了机会。拓展题是原有基本模型的变式，而且变式的途径不一。教学中发现学生对等底等高的模型提取比较容易，而对等积等底的模型比较困难。就是在这样不断的唤醒、提取、运用的过程中，模型表象才更加鲜活，学习的难点才有可能被攻克。 课后反思 公开展示后，获得听课教师的高度评价，使我倍感欣慰。我想主要还是在精准了解学情后，把功夫花在教材研读、习题整合上，使一盘散沙成为有机整体。
结构化重组，让教学从低效走向高效。如果按照教材原来的编排顺序教学，需要三课时才能完成。但是由于这些问题是分散、夹杂在其它内容之中的，教学时难以充分展开，一般只是就题了题，蜻蜓点水般过了一次，当然难以取得理想的教学效果。另外，有的题目计算比较耗时（如练习十四第6题），所以我更改了数据，便于学生口算，把主要的精力放在观察、思考、比较、推理上；有的题目雷同（如练习十四第11题和整理与练习第6题），我就选取一题，引导学生从不同角度转化，把它用足、做足；有的题目很难（如练习十四思考题），变式程度较大，我就调整次序，让它最后登场。如此处理（如下表），将无序的内容有序化，繁琐的计算简单化，松散的问题结构化，大大地提高了教学效率。 此文发表在小学数学教师2022年第三期，作者林俊。已经授权在本公众号发布。 |
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