深究本源，方能通透，一道几何压轴题的深入分析

2022宝安区二模第15题

如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE=BF=2，则AD=___________

分析：本题以平行四边形为依托，考查角平分线、等腰三角形、相似三角形，解法方向有蛮多，这是因为由已知条件可进行不同方向的联想，且每个方向都可有效的进行突破，解决问题.

方向一：等腰三角形

解：易知ADE亦为等腰三角形，设∠OAE=ɑ，∠OAD=β，则∠BAF=ɑ，∠AEO=ɑ+β，故∠ABD=β，故DAO~DBA，设AD=x，则OD=，而，故，x=2+2

点评：由等腰三角形得到一系列角度关系，通过角度关系得到相似三角形.这个突破点属于比较常规的，当不知如何解答时，推导角度关系明显不失为一种很好的方式.

另法：角平分线定理

由角度关系可得比较多的相似三角形，易知相似比为.

解：ABO~ACB，得即有，由角平分线定理知，故CF=2，AD=2+2

(亦可由ABE~ACF求得CF的长度)此结论可作为后续解法的基本结论.

方向二：角平分线

由角平分线可以联想到角平分线的性质、对称图形、全等三角形，因为题目本身呈现出好几个等腰三角形，更易往全等三角形的方向联想.通过辅助线，构造全等三角形解决线段长问题.

解法1：在AB延长线上取一点G，使AG=AC，易知AFGAFC，∠AGF=∠ACF，而∠ABE=∠ACB，故∠ABE=∠AGF，得BE||GF，得GF=2，故AD=2+2

解法2：在AC上取一点G，使AG=AB，易知ABFAGF，∠AFG=∠AFB，而∠AFB=∠BEF，故∠AEO=∠AFG，得BE||GF，，而得CF=2

解法3：延长CA至点G，使AG=AB，易知AF||BG，，得CF=2，故AD=2+2

解法4：延长BA至点H，使AH=AC，易知AF||CH，，得CF=2，故AD=2+2

方向三：由中点构造中位线、平行线

解法5：过点O作OH||BC，得OE=，而OH=OE，故CF=2，AD=2+2

解法6：过点C作CG||OB，得OE=，而CH=CG，故CF=2，AD=2+2

解法7：过点O作OG||AB，易知ABO~OCG，，CG=+1，故AD=BC=2+2

解法8：过点E作EG||BC，易知ABEAGE，，EG=，CF=2，故AD=2+2

解法9：过点C作CG||AF，易知AOECOG，易知BCG为等腰三角形，EG=CF，而OE=OG=，故CF=2，AD=2+2

解法10：作BM⟂AF，CN⟂AF，易知ABM~ACN，，而BMF~CNF，，故CF=2，AD=2+2

“解题的价值不是答案本身，而在于弄清是怎样想到这个解法的”.也就是国人所说的“知其然，知其所以然”.在数学学习过程中，不仅要弄懂“怎么做”的问题，还要弄懂“为什么这么做”、“还能怎么做”的问题.提升解题能力的关键在于解题的基础知识、思维底层逻辑的形成，多角度思考问题的习惯，反思、优化解题方法的习惯.