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一、格林公式当(1) 积分曲线为 闭曲线 ； (2) 积分曲线 的方向相对于其围成的封闭区域 以左手法则判定为正方向 ； (3) 在闭区域上，两个二元函数 和 存在有一阶连续偏导数，则有 【注2】 格林公式中闭区域的边界曲线不取由左手法则确定的正向，而是取相反的方向时，则借助于对坐标的曲线积分的方向性计算性质，有 即不管边界曲线取什么方向，有 利用“左手法则”判断为正方向，则取正；否则取负。 【注3】 判断平面区域的边界曲线正向的“左手法则”：当沿着边界曲线的正方向行走时，平面区域应该位于我们左手一侧，所以对于单连通区域，即只有外边界曲线的实心区域来说，曲线的正方向为逆时钟方向；对于多连通区域，则边界曲线由内外边界曲线构成，外边界曲线的正方向为逆时钟方向，内边界的边界曲线为顺时钟方向。 【注4】 注意封闭曲线切向量方向与外法线方向的关系。如果切向量方向为 则当曲线的切向量指向为逆时钟方向时，则外法线方向的方向向量为 当曲线的切向量指向为顺时钟方向时，则外法线方向的方向向量为 即曲线的法向量与切向量的关系为： 取正号时，法向量为切向量顺时钟旋转90度得到；取负号时，法向量为切向量逆时钟旋转90度得到。 平面曲线方向的确定可以参见推文：高等数学中平面曲线方向的确定。 二、利用格林公式计算对坐标的曲线积分第一步：明确被积表达式中的 和 函数( 前面的函数为 ， 前面的函数为 ，如果有负号，记得带上负号)。 【注1】 对于一些不能直接使用格林公式的被积表达式，借助被积函数积分定义在积分曲线上，满足描述积分曲线的方程，通过描述积分曲线的方程，变换、化简被积表达式，既可以起到化简计算的目的，也可能通过变换使得被积函数符合格林公式的条件，进而可以考虑使用格林公式来计算曲线积分。 【注2】 对于格林公式不满足的条件可以通过构造条件来使用格林公式，比如积分区域不满足封闭性，可以通过添加辅助线封闭曲线；偏导数连续不满足，可以通过变换函数，或者通过添加辅助线来使得其满足。值得注意的是，如果添加了辅助线，则最后要记得用二重积分的结果减去辅助线上的曲线积分。 【注3】 格林公式也适用于对弧长的曲线积分，只要借助于两类曲线积分之间的关系即可实现两类曲线积分之间的转换。 【注4】 一般借助于格林公式计算对坐标的曲线积分，同样也可以用于计算对弧长的曲线积分；另外，也可以通过构造合适的 函数，用曲线积分来计算二重积分。具体参见课件中的例题与对应的参考解答及说明！ 参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“曲线积分与曲面积分内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！ 相关推荐 ● 高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！ ● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项 ● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项 |
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