马云鹏教授讲座：《义务教育数学课标（2022年版）内容结构化分析》（内附视频、ppt）

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各位老师大家好，很高兴借助东师教师教育论坛这样一个平台，来跟大家分享一下义务教育数学课程标准二零二二年版有关内容结构化这方面的一些分析和自己学习的体会。

分这么三个问题来做介绍。

首先说一下数学课标二零二二年版内容结构化的特征，然后谈一下这个内容结构化它的价值和意义。最后说一下体现内容结构化的教学变革。

首先我们大家都知道义务教育课程标准在制定过程中强调的内容结构化，那么在数学课程标准二二零二年完里边也具有这样结构化的特征结构化的特征。

从以下三个方面做一些简要的分析。

首先是它的依据，第二就是它的主题是如何整合的，整合后的这种结构化的主题它的特征。首先我们来看一下，课程标准的制定实际上是以课程方案和课程标准同步做的，或者说数学各个。学科的课程标准是在义务教育课程方案指导下，以义义务教育课程方案为依据来做的。那么我就谈一下这个内容结构化的它主要的依据。

首先就是课程方案。在这个课程方案里边有这样的一个论述，就是加强课程内容的内在联系，突出课程内容的结构化，探索主题项目任内容组织方式，这是课程方案的。那我们都知道义务教育的课程修订从二零零一年那么到二零一一年，现在到二零二，是在有一个不断变化的过程。那么课程方案是从二零零一年有一个课程方案，那么到二零二二二年的新的课程方案，在这课程方案里规定了课程的指导思想。比如说这个遵循立德树人，落实立德树人的根本任务，这个致力于实现德、智、体、美劳的全面发展等等方面。

那么在目标内容等方面也做了相应的规定。与这个内容相关的就是我刚才描述的这样一段话，这是义务教育课程方案里边所规定的。那么课程方案里边提出要突出课程内容结构化，突出结构化是怎么样。

怎么样突出？应该在学科课程里边。不同的学科数学课程也应该按照这样一种方式进行一些结构化的变革，这是从课程方案。另外从国内外有关数学课程的研究。就是我们都知道数学是国际性的、通用的语言和工具那么数学教育在各个国家的数学整个教育的领域里边是占有重要的位置的。

那么历来国际上对于课程数学课程改革都是非常重视的。

那么我们梳理了国外有关数学课程标准的一些一些状况，特别是关于课程。内容整合、课程内容结构的一些具体的呈现的方式。那么我们发现多数国家其实他们都有内容的整合，这样的一个需求，或者是这样的一种呈现的方式。比如说很多国家在数与代数领域里边，用数与运算、数与计算、模式与关系、模式与代数等等这样的这样的方式表示。

那么其实它是一种整合，比如说术语运算是术的认识和运算的理解、运用的整合，术语计算也是其实是一样的。模式与关系其实就把一些解决问题的模式和一些数量关系放在一个。物体里边那么有的用模式与代数，那么是把代数的东西代数和数学的模式放在放在一起那么是这样。其实我们国家国内也有数学课程结构化的这样的一些研究，比如说早在上个世纪九十年代，北京的马新南老师就开始研究小学数学内容的结构化。那么很多研究，比如说中科院数学所的，还有很多这个这个教学改革的一些，同时都是从课程结构课程内容的结构这个角度做一些研究。那么这方面的研究成果也是我们制定数学课程标准借鉴的很好的且做法。

那么回过头来说，我们这个课程标准数学课程标准大致是这样的几个几个方面。一个是首先说了这个数学课程性质，那么数课程性质是数数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学阐述了数学在人的成长中的价值。

另外就是课程里面，课程里面有一共有五个方面的课程理念，这里不详细说。其中有一个就是关于课程内容。关于课程内容是这样的表述的，就是课标数学课标二零二二年版，有课程内容的组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。好，我们这里边有两个事情，一个是结构化整合后边我们要重点说结构化整合。那么结构化整合的目的在什么探索发展趋势、核核心素养的路径。那么这也就回到上一个话话题大的话题，就是我们现在的课程目标是以核心素养为导向的那么实现核心素养导向的课程目标要有相应的一致的课程内容，包括它的结构、包括它的内容选择和安排与之相对应。

所以那么就是在课程理念数学课程理念下边也提出来这个结构化的这样的一个基本的理念那么遵循这样的一个理念，我们确定提一系列的这个核心素养、课程目标、课程内容、系列质量，包括课程实施，这个都是在课程标准里。我我这里面不每一个每一个详详细去说。

那么今天介绍的就是课程内容课程内容它的结构化。那么在标准的课程里边，延续了上两个版本，对数学课程内容分为四个领域，术语、代数、图形、几何、统计、概率、综合与时间，这四个领域保持不变，在二零一一年版也是让二零零一年版也基本是这样，后来文字上有点有点变动。那么领域不变那么这种结构整合表现在什么地方表现在领域下边的主题。

那么这四个领域根据学科内容的发展和学生的学习，那么内容它的内容的水平和基本思想为主线，循序渐进的，每一个学段的主题有所不同每一个学段的主题有所有所不同。那么综合实践是一种综合性的设计，以跨学科主题学习为主那么这个是内容的内容的安排那么我们的课程的整合，结构化的整合主要体现在主题这个层面上，就是领域下面的主题是如何整合的。

我们从下边做一些介绍。第二就是说一下这个主题结构化整合的一个基本的思路。我们都知道这个数学课程是四个领域，那么我们每一个领域我们分别去说。首先我们看数与代数这个领域，先看一到三学段的主题后边我们再再说这个第四学段和这个什么样的关系。我们看左边是二零一一年版的几个主题，右边是二零二，二连板的主题术语怠速在左边。二零一一年版是有六个主题，数的认识、数的运算、常见的量、探索规律是与方程比正比例、反比例，有六个主题。

而到二零二二年版变成了两个主题，那就是整体上主题有六个变成了两个。

那么一一版的六个主题和二二版的这个两个主题什么关系？我们看数的认知和数的运算，我们整合为术语运算，这个不是简单的名称的这个叠加。我们后面再说这种组合意味着什么？这种组合意味着这样一种内容内容的整合、内容结构的这样的变化。然后探索规律是与方程正比例、反比例，整合为数量关系就是数量关系是这样的一个有这三个主题整合整合而来的。但是其实不仅是这三个主题的，还有一些其他的内容也是整合。后面我再说。

然后还有一个常见的量。中间就有一个常见的量，常见的量就没有在数与代数这两个这个这个领域下边，常见的量把它放到综合与实践里。我们说常见的量常见量包括这个包括重量、单位、时间、时间、单位这样的这样的一些那么把它放到那个综合综合与实践里。

所以说现在看这样的一些主题整合，六个主题两个主题整合为术语代数，三个主题整合为数量关系，一个主题调整到综合与实践。所以所以说二二版和一一版相相对这个主题的变化是相当大的。我说这一到三阶段，后边第四阶段我再说。所以这种主题的变化不是形式的变化。

在形式变化基础上，其实它的内涵、它对我们的教学实践会带来很大的影响，这是术语术语代数。那我们再看图形有几何图形几何一一版是四个主题，图形的认识图、图形的认识测量、图形的运动、图形的位置。那么二板是整合为两个两个主题，图形的认识和测量，整合为图形的认识与测量。因为这个测量这个测量原来基本上是这个图形的测量，或者我们把这个测量集中在图形的测量。

我们说从量感的角度可能还有测量，比如说时间的时间也有也需要测量也需要需要由时间单位去测量对吧那么重量也要也要去测量是吧有重量。那么那个所谓的测量我们放在那个那个综合实践里边。所以那么这两个那么就变成图形的认识与测量，其实相当于图形的认识和图形的测量那么这是这是这个这个那么图形的运动与位置整合到图形的运动和图形的位置整合的图形的位置与与运动。是这样，所以说  那么也是这样，由四个主题整合为两个主题。那么好，再看统计与概率。我们我们看哈主题的数量的变化不大，还是三个主题。主题的描述的方式有所变化，但主题的描述方式和对于主题的理解其实关系是比较大的。

你看，原来是分类，在低年级，特别是一年级是分类，那么到二二版叫数据分类。虽然加了两个字，但是其实对他的理解是不同的。分类是主要还是物体的分类，因为另外也包括数数的分类和图形的分类。那那是分类分类的这个理解是比较广的，而数据的分类就是能够用数据表达的那样的一些事物进行分类。事物如果是事物，你也可以把事物赋值把事物赋值也变成数据。

为什么说数据分类？这个是和统计统计思想或者现在叫统计意识联系在一起的。

因为后边后边两个其实都和数据有关系，特别是后边主题数据的收集、整理与表达随机现象的可能性。那么这些其实都是和数据有关的，所以说就数据就有一个同等的、一致性的这样这样的一个一个线索。所以这是这个统计概率综合与实践其实变化是很大的。综合与实践在因为在二零零一版。和二零一一版都有综合与实践这样的一个主题。比如二零一一版就是只是说运用综合运用知识和方法解决问题，就是笼统地说综合与实践就是综合运用知识与方法解决问题。

那么在二零二发生一个重要的变化就是，综合实践以跨学科主题学习为主。

主题学习那么并且强调跨学科，这个也是这一次课程标准修订的一个重要的一个理念，就是提倡跨学科的主题学习。那么数学里边的跨学科的主题学习重点是体现在综合实践在综合实践这个领域里边，我们设计了若干个主题学习。若干个主题主题学习的内容，然后去提倡主题式学习和项目式学习。初中阶段是提倡项目式学习，小学阶段是以主题学习为主，并且一个重要的变化就是一些知识内容融入到这个综合实践的主题学习里边。刚才刚才我们说的时间、重量还有方向，这样的一些这样的一些内容，我们都放在主题学习里边。所以这样的一个变化就和原来的这种教学方式会带来。新的这样的一些一些变化，这个变化就是你原来的综合与实践，那么只是学生活动，没有没有具体的内容。那现在把内容所要学的这样的一些内容，或者用我们原来说的知识点放在这个综合实践的活动里面。

那么这样的设计应该是什么样的？应该怎么样去设计，也对我们的实施者是一些新的挑战，而这些挑战我们说都是这种主题的整合。所以综合实践刚才说把内容放在这里边也是一种整合把把一些内容放到你这个主题学习里边。所以说我们说四个领域都有相应的这样的这样的整合。这是我们说整合成什么样子。

那么下面我们说主题。主题的结构化他表现出来的特征我们从三个方面，就是它的整体性、一致性和阶段性。我们在这个核心素养的设计上，其实也是具有这种整体性、一致性和阶段性，那是核心素养。我们在这个内容的结构化也体现了这样的几个特点，下面我简单的做一下介绍。

首先我们说整体性。整体性是什么意思？整体性就是相同本质特征的内容的整合。就是把具有相同学科本质的那样的内容。放到一个主题里边，我们这个主题整合，刚才说两个放在放到一一起，数与运算，数量关系，三个。三个主题放的放的原来三个放放在一起都用数量关系来表达。那么这个这个是体现了他们的学科本质的这种一致性。比如说我比如说我们来说这个以数量关系为为为例来说，在这个一到三学段，我们看这是这个这个表的分布就是一到四学段，四个领域、各个主题。

我们可以看这个术语代数，数一到三学段术语运算，到第四学段的数与试，一会儿我们再说。一到这个三学段数量关系，到第四学段是方程函数。那么图形几何也是这样几个主题这样几个主题，是吧？

现在就说数量关系。你看，数与代数，一到三学段都是说数量关系，那么就是数量关系是一个大的主题，而不同学段有不同的这种表现方式和不同的内容。刚才我刚才我们说我们回忆一下，回忆一下，在二零一一版有两两种数量关系对吧就是就是乘乘法模型，我们叫乘法模型，总总数等于等于单加乘以数量，路程等于。速度乘以时间，那样两个数量关系二零二零。一零一版没有没有数量关系这个主题。

而这些解决问题是分散在术语运算数的数与代数，同音几何的各个各个部分部分里边。那么慢慢慢慢到二零零二零一一版加了两个两个常见的数量关系那我们叫常见的数量关系。而现在我们发展到数量关系，包括了那个常见的数量关系，而由加法模型由拓展拓展成加乘法模型，又拓展为加法模型和乘法模型两两类模型和三个模式加法模型是总量等于分量加分量和刚那两个。然后再加上用四轮运算的意义解决问题，用不同的学到不同的数解决不同的问题。然后把原来的字母表示数，原来字母表示数是在数的认识里面，现在也放在数量关系里面。因为字母表示数更多的是发展学生的代数思维，还有这个这个比和比例，比和比例包括比包括正比例，也包括这个成正比的量等等这样的一些内容。那么都用数量关系这样的一个主题的一些核心概念来理解他们。我们就可以使他们成为一个整体。使它整体的重要意义在什么地方？就是保持他们之间联系，关注他们之间联系，后面我们再要介绍。所以所以我们下面我们老师可以去看课标，每一个这样相同的主题，它的内容其实它的本质特征是一样的。你知道它的本质特征的一致性，然后对我们理解是有有重要重要意义的。

这个就是刚才我说的，我们把常见的常见的数量关系，这个有点常见的数量关系，运用数和运算，解决问题探索规律是与方程比和比例正比例排比例，都放在这里边。当然方程我们放到第四学第四学段了，其实还有。还有字母表示，字母表示数，原来字母表示数，放在这个这个里边，这是一个一个整合。其他的内容我们可以下面可以去去看。这个这是整体性的一个就是相同本质。另外一个整体性体现了研究对象家就是前两天史宁登教授在一个报告里专门提出来这个研究对象家的一些这样一些概念，就是研究对象。我们把数作为一个研究对象，把图形作为一个研究的对象，也就是说我们研究树不只是研究树，而且研究树的什么什么什么什么东西，是吧？

所以这个叫研究对象加构成一个整体，就术语、运算和术的认识与测量，就术语运算。不是在树的基础上，数作为一个研究对象，因为数是数量的抽象。那么研究树不是研究树本身，要研究树的性质。说的性质是什么？比如说它既有性，比如说能被二三五整除的数的特征，那么这个我们都是要树的性质和树的关系树和事物之间的关系关系有大小关系。这个这个这个数的比较大小是一一种关系。

另外就是运算就是运算。数通过不同的运算又得到新的数，那么我们最基本就是四折加、减、乘、除四的四折运算。图形图形我们不只是认识图形，那么长方形、正方形，第一次。零三角形，我们不只是认识这个图形本身，我们还要认识这个图形它的特征。我们说这边平行相等对吧，这是一个特征。然后我们在看这个图形的大小，就是图形的测量。图形我们这个图形测量就是它的这个周长面积、体积，对吧，图形要认识，图形的特征、它的测量。所以说我们就整合为术语运算。就是这样的一个一个整体，把它看成一个整体，研究对象和它的性质和它的关系放在在一起。

图形的认识与测量就是图形本身的样子，它的特征。还有图形的大小，如何判断、如何测量、如何计算图形的大小。那么这个这个都是都是那么同样数据也是一样，数据数据本身我们要去认识，而数据的特征就是它的它的统计量。图表来表示，那么这样构成了一个整体，从这个意义上也具有整体性。整体性的第三个就是一到四学段，其实也构成了一个整体。

刚才我分析的一到三学段，一到三学段我我们看哈，我们看一到三学段主题的名称是一样的，到第四阶段好像是不同了对吧？你看术语运算一到三学段是术语运算，第四学段是术语式那我们看一到三学段的术语运算和第四学段的术语式其实是一致的。什么一致？还是说本本质它的内容的本质是一致的。我们你一到三阶段你学习整数、小数、分数，到第四学段数是什么有理数。对吧那么数它的本质是一样的，然后是是是用字母表示的。用字母表示的关系表示这样的一种一种一种关系，也是数数的加运算，再加他们之间的这种这种关关系那么这个这个运算到第四弦的运算，不仅是数的运算，还有式的运算。代数式的运算是吧？那么他们也是构成一个一个整体。

数量关系数量关系刚才说一到三学段那么多那么多内容，常见的数量关系、比和比例呀。好，到第四阶段是方程与不等式，还有函数方程与不等式以及函数最。

这两个主题其实是数量关系的延展和数量是数量关系的这种抽象的表达。函数是数变量的变量的表达，变量之间关系的表达。是吧这个方程是未知数的这种等相等的这种表表达，或者是确确定量的这种等式和不等式的这种这种表达。那么它们本质都是数量关系。

所以，他们是一脉相承的，树的认识与测量与树的性质是有关系的，树的性质包括这个证明、包括他们平行、包括他们全等等等不是数字性图，图形的性质和图形的性质是有是有关系的，去进一步从逻辑上、从抽象水平上认识认识对吧同同样数位置与运动和数的变化和坐标是有关系的，是吧？所以从这个意义上来讲，这种整体性是一致的，一到四学段构成一个整体，这是说整体性。

那么下面我们说一致性。这个一致性表现在什么？我们说小学小学阶段是整数、小数、分数及其私人运算。到第四学段是有理数是四和和和这个代数。不是的一运算。那么其实他们横向上、纵向上都是具有一致性。我们以小学的这几个数和运算为例，我们说从整数到小数、分数，是什么样一个程？比如说关于数，整数。整数的表达是数字和数位的组合，就三十五、三十三、三十五是数字加上数数位三，三和五，三和五放在不同的位置上，表示三十和五对吧在一起是三三十五。小数？

小数零点三五，零点三五也同样是数字加上数位，对吧是零点三五，零点三三零点三是十分位。十三，百分位是五，那么同样是十分位的三个是三个三个数十分位的三和这个百分位的五，那就是零点三五，对吧？那么他们是表达方式也是一致。分数分数分数有所不同对吧，分数还用五和三来说哈，五分之三五分之三这五分之三这两个是不不可分的。如果是分的话要怎么分？它还是数字加上数位。数位是什么在这里面是分数单位分数单位是五分之一。那么就可以说五分之三是三个五分之一。

如果这样的话，和你三个十三个零点零点一和三个五分之一，这个表达就是一。

是一致的，就是也是本质上也是这样。所以说我们说树的表达这种统一性，它的一致性都是数字加上计数的单位，所以我们把数位、分数单位都叫做计数单位。

那么后面我们说这个计数单位，我们就可以把它再看作一个核心概念。

好，我们再来看数的运算。数的运算加法是最基本的，基本的运算。加法我们说用两位数加法，三十五加上四十八，那么等于三十加上四十，加上五加上八。

什么意思？我们为什么把三十和四十放到一起？三十加上四十，因为两个都是三个十和四个十，所以先加三十，四十等于七十。然后形式上算的就是十位上的三加四等于七等于七个。操作上是三加三加四是什么三加四，十位上的三加四，它到底是三十加上四十，再加上五和八。当然这里边要用到交换力、结合力，这个我不说，那么这是这是最基本的加法，小数加法也是这样。零点三五加上零点四八是零点三，加上零点四加上零点零五加上零点零八，也同样，零点三加零点是等于零点七，再加上这个十三三个零点零一那就是那就是零点哎十三，十三个零点零一那就是那就是零点一一三，对吧？然后再去那个操作跟加法跟整数。加法是一样的，是吧这个道理是一样。分数？分数有不同，分数又不能分数，我们还是用这几个数说五分之三加上八分之四，你就不能直接那样，你就不能是三加四是五加八对吧？我们不能我们不能说三加四等于七、五加八等于十三等于十三分之七。那么这样这样是不行的，为什么不行？我们不行的原因就是他没有做到分这个计数分数、单位的下降。

我们前面都是说单位多少个单位？单位的个数相加，这个对，前面说相同单位的个数相加相同单，这个相单位是什么？问题就是五分之三和八分之四的单位是不同的，五分之三的单位是五分之一，五分之三分之四的单位是。八分之一对吧？八分之一和五分之一多少个五分之一多少个八分之一不能直接相加，就像你十位上的三不能加不能直接加个位上的八。你那个我我五三十五加上四四十八，三加八等于十一，这是不对的，对吧？三加八等于等于等于十一，你是没有道理的，就相当于你这个。

那么怎么样让它相同？就变成相同的单位，所以变成四十分之二十四加上四十分之二二十那么就等于四十分之二十四加上二十四十分，四二十四相加就相当于二十四个四十分之一，再加上二十个四十分之一等于四十四个四十分之一，所以等于四十分之四十四。当然你可以变成带分数，那是另外一个问题，对吧。好，那么如果这样的话，我们就看到它的一致性，一致性的是什么都是相同的计数单位的个数的累加。你要找到计数单位要找到相同的计数单位，你无论是省出小数，分数相同计数单位加就没有错。

那么我们也把这个叫做核心的概念，他们在核心概念这个学科反映、学科本质的核心概念上是一致的。所以这两个大家记住，后面我们可能还要用。从这里边我们就可以看出它的一致性。对吧另外，我标准里边其实我们我们回到标准哈标准里面有很有一些关。一致性的表达。大家根据前边对一致性的理解，可以理解标准中的关于一致性的这样的一些表达。比如说第二学段，第二学段就是在认识整数的基础上认识小数和分数，通过数的认识和数的运算有机结合，感悟计数单位的意义。

所以我们要记住这句话哈，感悟计数单位的意义，了解运算的一致性。为什么感受感悟分数单位的意义就是要了解它的一致性。我们看第二阶段叫了解一致性了解一致性。第三阶段也是进行简单的小数分布运算、感悟运算的一致性。

所以从这个里边我们就看标准里边的这样的一些表述，其实是基于主题整合所出现的这种一致性。标准里边提到一致性的直接提到一致性的话并不多，但是我们从一致性的角度、从学科本质的核心概念相同这个角度我们来理解，可能会帮助我们理解更多的那样内容的一致性。

然后我们再看数与运算，我们把术语运算整合在一起，这说明术语算其实他们他们是具有一致性的，他们是一个整体。我们开始就说从整体来看，术语运算的是研究对象加研究对象是数。那么加加什么加它的性质，加它的运算，是吧，加它的。

我们我们开我们从从自然数开始就是从一一开始，一再加上一就是有新的数。所以说自然数的产生逐渐的扩大，其实就和佳联联系在一起的，产生过程其实就就标志的运算和数有密切的关系那么。加法是所有运算的基础，其他的运算其实都从加法演变出来的。加和这个自然数有直接的关系。那么减是加的逆运算，你你加是加法是加一加一加一对吧，你减法就是减一减一，减一减几就是连续减几个一，对吧那就是逆运算。乘法，乘法也是加对吧？乘法是相同加数核的简便运算，那么其实它也是加，你。你那个加最原始是加一加一乘法是三加三加三再加三再加三等于三乘以四，对吧？我表示成三乘以四，三乘以四什么意思？是四个三的累加是四个三的累加四个三的累加。我们也再分解，也可以说三再加一加一加一，连续加。那么多，加到加到多少加到十二。讲了十二，所以我们说四乘以三是十二，那就是三个三，哪家是十二或者是三个一，加是十二除法？除法是乘法的逆运算，那么你是累加相同加数的，和那么除法就是连连续的减连减一个相同的数，对吧？是吧十二除以十二除以三十二除以三减一个三减一个三，一共减去四个三。所以说那么运算它是。这样的具有具有一具有一致性的。

所以我们看小数乘法。小数乘法它是数和运算这样的一个整合，是针对所有的运算，都是针对具体的数，那么这个运算是针对小小数的。那么它的一致性表现怎么什么样就是计数单位个数的累加。计数单位你看整数、小数，你你你实际上的累累加是一个，累加是一个概念，核心概念，计数单位又是一个核心概念。我们只要记住计数单位和累加这样两件事情，就解决所有的数和运算他们的核核的问题。核心小小数乘法小数乘法，计数单位，小数位就是十分为百分为间份位。那么你小数乘法也是，他这些位不同数位的数，如果乘几就就是加加几次。那么你你都可以追溯到这样。所以说术语运算它也具有具有一致性。所以从这个意义上来说，我们在在想混合运算是另外一个问题，我这里不说，大家可以去思考。好，这是说的一致性。

下面就是阶段性，所谓的阶段性是什么意思？阶段性我们可以从三个方面，一个是学业要求的不同水平，不同的学段有学业要求的不同水平。第二是思维水平的阶段性。第三个核心素养的阶段性。首先我们看学业学业要求。我们在这个课标里边表现形式上，前面我没说哈，那内容的呈现方式上有一个大的变化。我们有内容要求、学业要求和教学提示。学业要求是标示学生学到什么样的程度。

我们看，不同学段在同一个主题下的内容的要求、学业要求是不同的，那么体现了一种阶段性。比如说第一学段第一学段是能用数表示物体的个数和事物的顺序，能读任读写万以内的数。说出不同数位的表格，那是这是第一第一第一学段第一学段对于数的认识。第二学段是认识万以内的数，外面的数，那个是那个是万。你哎哎外以上的数。第二第一学段是万，就是从学习的整整数，我们只看整数哈。当然第二学段还有小数小数数和分数的初步认识。第三阶段就是理解小数分数意义，从数的扩展这个这上面有些要求，有有这个有这个阶段性，我们所说的思维水平。

我们回到我们刚才说的核心概念。从数的意义上来说，核心概念。我们我们回想刚才说的核心概念，计数单位、计酬单位的累加，我们作为核心概念。那么在这个核心概念在不同学段上是怎么表表征的？看第一学段，能说出不同数位上的数表示的数值，这个要求什么意思？你要知道。个位上是几几个，十位上是几十，百位上是几百几十、几百，对吧？能说出数数位。我们再看第二阶段，是了解十进制计数法，从数位扩展到十进制的计数法。整个整数整数正正整数哈，这个认识自然数作为一个作为一个整体，然后感悟分数单位，因为第二阶段有分数，有的分数初初步认识。好，第三阶段，感悟计数单位。我我们看，这个是一一条线，这个是所谓的核心概念。

回到我们刚才的计数单位的核心概念，计数单位开始是数位，然后十进制计数法，然后有分数单位，有小数单位，有有整数的数位到分数。有分数，分数单位有小数的小数的单位，对吧十分位、百百分位。然后到第三阶段小数分数都学之后，叫感悟计数单位。好，核心概念的层次性，而这几个都是计数单位的核心概念，我们是一条线的。这一条线他们具有具有这种这种一致性和阶段性核心素养的阶段性。

我们第一阶段你说初步形成初步的数感和符号意识对数感、符号意思书认识是最重要的。第二阶段形成数感符号意识。第三阶段进一步发展数感和符号意识。因为这个在小学阶段，手感符号意识就是阶段性的表现。那么我们。用不同的词，大家可能说你初步形成是什么意思，形成初步的，然后行然后进一步发展，大家体会有不同层次的要求，就我们这个就是核心素养也有不同的要求，这是这是第一个大的问题，我们说对于主题整合它的理解、它的它的特征。

第二，我们说课程内容结构化的价值与意义，就是为什么我们要结构化？

结构化这个它的意义是什么？对于我们的教学意味意味着什么？我们想从三个三个方面来，一个是它内容的关联，一个是知识方法的迁移，一是核心素养。首先我们说这个结构化。课程内容的结构化，凸显了内容的关联。我们回到基本的一些理理论反思一下，或者是回回顾一下它的发展结构化的这种脉络。

如果我们追溯的话，不往不往不往再早更早的追溯，我们追溯到上世纪六十年代，最有影响的就是布鲁纳。布鲁诺的教育过程相信很多人都看过这本书，不太厚的一本书。那么布鲁纳在教育过程里边，好，一个很重要的观点就是知识的结构化，就学习内容的结构化。他在那本书里有说，简单地说学习结构，他说结构化就是要学习结构，学生不仅不是学习碎片的知识，而是学习结构。

学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。是什么意思？其实就是说结我就是你解释了，我们现在的结构化，它的目的就是体现学习内容之间的关联。学习内容之间学习内容可能是碎片的、杂乱的、分散在不同的主题主题下，分散在不同的学段下，但是他们的关联是什么？你如果把它关联能够找到，那么就能够更使学生更好的理解学科的基本原理关联。

理解关联是目的是学理解基本原理，然后促进学习内容的掌握和能力的发展。

这个是这个是当时布鲁纳的一个一个观点。当然他还说了，他举了一些。电子这本书里边也也举了数学的例子，大家有时间可以去看。那么学科内容的结构化目的是要了使学生不仅了解某一个知识、某些知识，而且描写知识之间的关联。

那这种关联是通过什么关联的？通过通过核心概念，就是不是个别知识的掌握，而是从内容之间的关联中体会其中的核心概念。在布鲁纳布鲁纳那本书里边叫基本观念，那翻译成基本观念我看了这个英文的叫叫这个贝斯改变，也可以翻译成基本概念，所以说布罗娜叫基本概念，那么现在我们叫核心概念。而另外一个这个学科教育的这个专家，这个施瓦布也也也说说学科结构。

学科结构是什么学科结构是部分的，由规定的概念系统所构成的，有概念系统。

那这是什么意思？就是我们要学习不仅学习单个的内容、一系列内容，而且要学习结构由核心概念组成，签一位线索这样的结果。然后有一句话很重要，就是讲这些核心概念在气候的学习中反复运用和强化。核心概念是在后来的学习中反复运用和强化的，是以不同的方式所表达的。

刚才我们说计数单位是个大的。我们在小学一年级的时时候就说是数位，你不能跟学生说计数单位就是数位是具体，然后有小数的单位，然后有分数的单位，然后我把它最后统一成都是计数单位。而学生脑子里边就是不同的位置上的数，它表示的值是不同的，而数的表达是多少个用多少个单位或者多少个单位的组合而成的。

那么然后这样的一种东西在用到运算的时候，那也就是你对多少个单位的操作，多少个一多少个、十多少个十分之多少个十分之一、百分之多少个八分之一，多少个五分之一等等等等，都是对他多少个单位的这样的一个表达。那么在这个意义上他们是一致的。所以说这个核心概念是不断地反复出现和强化，还有不断的进阶，用现代时髦的语哇依然是说是吧。

所以那么这就是说所以说现在我们用的好多，比如说大概念、大观念、核心概念、基本概念，我认为哈和与这个核心概念与学科结构这个核心概念是一脉相承的。

他们表达的含义应该是应该是一致的，可能略有略有不同是吧在不同的学科里边可能也有略有不同。实质表达的含义都是要结都是都是为了实现结构化，都是为了实现内容学习内容之间的关联，用核心概念把它们关联出来。所以说学生学的不是知识，不不仅是个别的知识，而且要学习那些个别知识中蕴含的核心概念，然后通过这些核心概念的反复运用和强化，然后实现知识方法的迁移。

就是下面我们说的，结构化有助于知识与方法的迁移。其实前面我们已经已经说了也说了一点，结构化事实，零散的内容，通过核心概念使咱们串联起来，建立起关联。那么这些核心概念可以把主题中零散的内容。联系起来，促进知识与方法的迁移。

怎么迁移？不是知识本身的，建议你记住，记住单个记住越来越多的知识。实现不了迁移，知识本身实现不了迁移，知识背后或者知识所蕴含的核心概念是助于迁移的。所以说这种迁移是一种运用核心概念来实现的迁移，你整数不能直接迁移到分数，对吧？但是你由数位你牵扯，你迁移到分数单位，这是可以做到的，它的本质是一样的，对吧？所以核心概念是可以把领域或者主题内，甚至跨越主题的一些不同的这样一些东西联联系起来。

不同主题，这是教授主编的，主编的叫这个数学教育手册数学教育手册里边第二第二册里边有这样关于核心概念这样一句话，我觉得他对核心概念也是说的比较清楚，就是就是主题甚至跨主题、跨领域的基本的概念、方法和问题联系起来，其具有支配性的概念。就是核心概念是有支配线的，就概念是促进有意义的、联系紧密的知识的一个强大的工具。

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