判别式的巧用-初高衔接-中考压轴必备思路

说明：判别式的相关知识与应用，不仅是初中数学教学的重点，而且也是在高中数学学习中的一个重中之重的内容，尤其是'判别式法'的解题方法与思路，需特别掌握好，优秀的孩子务必力求达到：能妙用与巧用，这样会给解题带来极大的方便。本篇试图通过几道典型例题的解析，引起大家的注意！

本文也是五年前的一篇文章进行更新而成，近五年的全国各地的中考压轴也较多围绕'这个知识内容的妙用或巧用'而编制成题。

以下是正文：

判别式的巧用——典例解析

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例1.  已知：如图，矩形ABCD中，AD＝a，DC＝b，在AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝x，问：这样的点E是否存在?若存在，这样的点E有几个?请说明理由．

解析：显然当∠DEC＝90°时，矩形被分成的三个直角三角形相似。由此得到：AD:AE=BE:BC,即a:x=(b－x):a，整理，得x^2－bx+a^2=0,其判别式Δ＝b^2－4a^2=(b+2a)(b－2a)，因b+2a>0，所以只需讨论b－2a的符号。

不难得到：

（1）当b>2a时，Δ＞0，符合条件的点E有两个点；

（2）当b＝2a时，Δ＝0，符合条件的点E有一个点；

（3）当b＜2a时，Δ＜0符合条件的点E不存在.

另：本题用“圆”的相关知识来解，也很方便：

小结：利用方程根的情况（判别式Δ）来判断点的个数。

例2　如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH，试求b/a的取值范围．　

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解析：设BF＝x，通过全等，得BE＝CF＝a－x.

在RtΔBEF中，由勾股定理，得：

由于x的值是存在的（显然是废话），

则上述关于x的二次方程有实数根，

所以Δ≥0.即：

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小结：根据勾股定理，建立方程，巧妙利用根的判别式突破。

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例3　已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于1.5．

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解析：由a+b+c=0知：

三个实数中至少有一个为正数，

不妨设c＞0，则有b=－a－c，

代入abc=1中，得a(-a－c)c=1，

即a(-a－c)=1/c，

整理，得a^2+ac+1/c=0，

因a为实数，

所以上述关于a的方程a^2+ac+1/c=0有实数根

因此

…….

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小结：又一道通过建立方程，巧妙利用根的判别式突破。

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例4　已知二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n.

（1）当m=t=0时，判断二次函数图象和x轴的交点个数.

（2）若n=t=3m，当x为何值时，函数有最值？

（3）是否存在实数m和t，使二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n与x轴有交点，且n的最大值和最小值分别为9和3？若存在，求m和t的值；若不存在，请说明理由.

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解析：

(1)只需将m=t=0代入原解析式，

得到含有字母系数n的二次函数，

再根据“Δ”的符号，判定图象与x轴的交点个数.

答案如下：

将m=t=0代入，得：

y=－(n/2)(x^2)+nx－n（n≠0）.

Δ＝……=－(n^2)，

又n≠0，得△＝－(n^2)＜0.

所以该二次函数图象和x轴的交点个数为0.

（2）类似（1），将n=t=3m代入，得到含有字母m的二次函数，再通过配方求解。答案如下：

∵n=t=3m，∴y=－mx^2+3mx

(由m－n≠0可得m≠0）.

配方，得y=－m(x－1.5)^2+2.25m.

∴当x=1.5时，函数有最值.

（也可分m>0和m<0讨论）.

（3）（务必审清题意，逐个条件分析，最后综合）.

根据“二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n与x轴有交点”可得：Δ＝…=－(n^2)－4×0.5（m－n）×（t－n）＝－n＾2+2（m+t)n－2mt≥0，得Δ为关于n的二次函数（因n的取值明确）.

“Δ为关于n的二次函数”这个结论是解题的关键（注意体会）！！！且Δ≥0.

根据“且n的最大值和最小值分别为9和3”及结合上述结论，

可以到：本题的题意相当于“当3≤n≤9时，Δ≥0（即关于n的函数Δ的值为非负数——相当于此时函数Δ的图象在n轴上或上方”）.

由此，得到：

分别当n=3或9时，关于n的函数值Δ＝0.

所以

小结：逐字逐句地审清题意，从题意得到有用且关键的结论，找出解题的突破口.

例4和例5　以下两道选自本人编写的《尖子生之路》九上，

详细视频解析，请直接点击打开以下链接（免费观看）：

21.7－一元二次方程根的判别式的应用

例6～例…（近五年福建中考倒一），请直接点击打开下列链接阅读或观看：

近五年福建中考数学试题图文解析或视频解析

写在后面

好的解题方法与思路，需要的是慢慢品尝，深入本质地感悟与理会，才可为你所用，记忆式的学习所谓的'模型套路'有害无益，至少影响自身的思维发展，因此优秀的孩子越到关键时刻，越应该明白：真正需要掌握的是什么！