勾股定理面积问题专练

类型一　三角形中利用面积法求高

1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，斜边上的高线的长为( D )

A.80/13cm   B．13cm   C.13/12cm   D.60/13cm

2．点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________

解：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.

∵S_△ABC＝3×3－1/2×2×1－1/2×2×1－1/2×3×3－1＝9－1－1－9/2－1＝3/2，AB＝∴

∴h＝

类型二　结合乘法公式巧求面积或长度

3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是( D )

A．48cm²   B．24cm²   C．16cm²   D．11cm²

4.若一个直角三角形的面积为6cm^²，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( D )

A．7cm    B．10cm  C．(5＋∨37)cm   D．12cm

5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)^²＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( C )

A．3  B．4  C．5  D．6

类型三　巧妙利用割补法求面积

6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．

解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.

∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.

在Rt△ABC中，由勾股定理得

AC＝

∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥AD，

∴AE＝1/2AD＝1/2×10＝5.

在Rt△ACE中，由勾股定理得

CE＝

∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABC＋S_△CAD＝1/2AB·BC＋1/2AD·CE

＝1/2×5×12＋1/2×10×12＝90.

7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．

 解：延长AD，BC交于点E.

∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.

∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得

BE＝

∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，

∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，

由勾股定理得DE＝＝＝2.

∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABE－S_△CDE＝1/2AB·BE－1/2CD·DE

＝×4×4－1/21×2×2＝6.

类型四　利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积

8.在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．

如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ的面积为_____．

解析：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

 

易证四边形AOLP是矩形，OK＝BE＝3.

∵∠CBF＝90°，

∴∠ABC＋∠OBF＝90°.

又∵∠ABC＋∠ACB＝90°，

∴∠OBF＝∠ACB.

在△ACB和△OBF中，

∴△ACB≌△OBF(AAS)．

同理：△ACB≌△PGC≌△LFG≌△OBF，

∴KO＝OF＝LG＝3，FL＝PG＝PM＝4，

∴KL＝3＋3＋4＝10，LM＝3＋4＋4＝11，

∴S_矩形KLMJ＝KL·ML＝10×11＝110.