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2021年浙江丽水中考数学的这道压轴题，对作图的能力要求很高，不把图形作出来，恐怕解不了。这是一道矩形上的动点，和直角三角形的存在性问题。题目是这样的： 如图，在矩形ABCD中，点E是AD的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设AD/AE=n. (1)求证：AE=GE； (2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示AD/AB的值； (3)若AD=4AB，且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.  这道题要充分利用A，F关于BE对称的关系，事实上，三角形AEB和三角形FBE也是关于BE对称的。几何压轴题的第(1)小题，往往都没有抛物线问题的第(1)小题那么简单，需要有比较好的逻辑思维能力。 证明：(1) ∵A, F关于BE对称，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE， ∵GF⊥AF，∴∠EFG=90度-∠AFE=90度-∠EAF=∠AGF，【这个等式含有比较大的信息量，既有互为邻补角的定义，又也有等量替换，还有直角三角形两个锐角互余定理的运用】 ∴GE=EF，∴AE=GE. 第(2)小题几乎无法通过单纯推理得到最后的结果。只能摸着石头过河，通过求AE和AB之间的关系，去推算。最后有点“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。  解：(2)如图，当F落在AC上时，∠ACB=∠GAF, Rt△ABC∽Rt△GFA，【因为原图不准确，有必要的话，可以自己重新画一个图。】 又BE⊥AF，GF⊥AF，∴BE//GF,∴∠AEB=∠FGA，∴Rt△EAB∽Rt△GFA， ∴Rt△ABC∽Rt△EAB，【相似有也类似相等的替换定理。与同一个三角形相似的两个三角形也相似】 ∴AB/AE=BC/AB=AD/AB，即AE=AB^2/AD，AD/AE=AD^2/AB^2 =n, ∴AD/AB =根号n.【这个结果有点出乎老黄的意料】 由于原题提供的图形和第(3)小题的题意出入较大，所以一定要自己作图，否则很有可能会得出错误的结论。首先，第(2)小题其实是满足第(3)小题的一种情形。  (3)(2)中∠CFG=90度, AD/AB=根号n=4, n=16; 当∠CGF=90度时, 如图2, ∠DGC=∠GAF, 【如果在题目给的原图上作图，会错误地发现这两个角不可能相等。】 ∴Rt△CDG∽Rt△GFA∽Rt△EAB ，∴CD/AE=DG/AB=(AD-2AE)/AB， 即AD/(4AE)=4(AD-2AE)/AD，化得：AD^2-16AE·AD+32AE^2=0， 解得：AD=8+4根号2 AE或AD=8-4根号2AE(舍去)，【当AD=8-4根号2AE时，F点在矩形ABCD外部】 ∴n=AD/AE=8+4根号2. 当∠FCG=90度时,当且仅当点G与D重合，且点F在BC上时成立, 如图3.【其实这种情形下，点F一定在矩形ABCD外部】 则Rt△CFG∽Rt△BAF, ∴CF/AB=CD/BF, 又AB=BF=CD，∴CF/AB=1, CF=AB, AD=BC=CF+BF=2AB, 矛盾！【事实上，证明矛盾的方法有很多】 ∴n=16或8+4根号2.  从初一开始，学生就要有意识地练习作图能力。作图能力对中考数学的帮助是很大的。 |
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