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如图, 在四棱锥E-ABCD中, AB//CD, AD=CD=BC=AB/2, E在以AB为直径的半圆(不包括端点)，平面ABE⊥平面ABCD，M, N分别为DE，BC的中点. (1)求证：MN//平面ABE； (2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值.  【第一小题只要注意，BCDE不是一个平面就可以了，否则就很容易出错。注意B,C,D三点在平面ABCD上，没有两个平面存在三个不在同一直线上的公共点的】 (1)证明：过N作NF//AB，交AD于F， 连接MF, 则MF//AE, ∴平面FMN//平面ABE， ∵MN⊂平面FMN, ∴MN//平面ABE.  【第二小题直接建系，不过建系的技巧，以及如何求二面角的平面角的余弦的知识也是要掌握才能做到的。这里要运用“二面角的平面角等于两个平面的法向量之间的夹角”的定理】  (2)解：当点E是弧AB的中点时，四棱锥E-ABCD体积最大，【因为此时四棱柱的高最大，底面积不变】 取AB的中点O为原点建系(如上图)，设AD=CD=BC=1，则AB=2，【设AD=a，则解题过程很麻烦，设AD为整体1，则解题过程容易出错，老黄选择后者】 B(0,1,0), A(0,-1,0), E(1,0,0), N(0,3/4,根号3/4), 【下面插入一段求N点坐标的过程：  过C作CF⊥AB于F, 过N作NG⊥AB于G,则BF=OF=CD/2=1/2, ∴GF=BF/2=1/4, FC=根号3BF=根号3/2, GN=FC/2=根号3/4,OF+GF=3/4 所以N(0,3/4,根号3/4),如果你愿意的话，可以把这段写在前面。】 向量AE=(1,1,0), 向量AN=(0,7/4,根号3/4)【求法向量，只需要平面内的两个有交点的向量就够了】 设平面ANE的法向量为n=(x,y,z), 则向量n向量AE=x+y=0, 向量n向量AN=7y/4+根号3z/4=0,【因为法向量与平面垂直，所以垂直于平面内的直线，两个向量的积就等于0】 任取x=根号3, 则y=-根号3, z=7,【x可以任取，因为任取法向量上的一点，并不影响后面的运算】 可取平面BAE的法向量m=(0,0,1),【因为平面BAE是水平平面，所以法向量是z轴】 记二面角N-AE-B为α, 则coα=向量m向量 n/(|向量m||向量n|)=7根号55/55. 【求两个向量夹角的余弦，这个公式要牢记】 这个方法，虽然看起来也没有那么简便，但是它胜在直接，不需要过多的思考，没有那么烧脑，掌握并且熟悉了，高中数学中是可以帮大忙的。 |
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