 设{an}的首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn=nan/3，已知a1, 3a2, 9a3成等差数列. (1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和. 证明Tn<Sn/2. 对于数列{an}，首项a1已知，只要求得公比q，就可以得到它的通项公式。然后利用bn和an的关系，就可以得到{bn}的通项公式。 (1)解：设an的公比为q, 则a2=qa1=q, a3=qa2=q^2， 因为a1+9a3=2X3a2, 所以1+9q^2=6q，解得q=1/3. 所以an=1/3^(n-1), bn=nan/3=n/3n. (2)证明：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=3(1-1/3^n)/2=3/2-1/(2·3^(n-1))=3/2-an/2. 【可以发现，Sn竟然是an的函数，即Sn本质上与等比数列是有关系的。化成an的函数式，对下面的解题过程会有帮助。】 Tn=b1+b2+b3+…+bn=1/3+2/3^2+3/3^3+…+n/3^n =(1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/3^n)+(1/3^2+1/3^3+…+1/3^n)+…+1/3^n 【可以发现，Tn是一系列等比数列前n项和，前n-1项和，前n-2项和，……，前1项和的总和。这时我们可以选择对每个式子都运用等比数列的求和公式，结果会包含另一个等比数列，继续运用等比数列的求和公式就可以了，但这种做法出错的概率非常大。不如下面的做法。继续观察，我们可以发现每个式子都是an的前n+1项和减去缺失的项的和，第一个式子只缺失第一项，所以减去前1项的和，第二个式子缺失前两项，所以减去前两项的和，依此类推，最后一个式子缺失前n项，所以要减去前n项和。】 =S_(n+1)-S1+S_(n+1)-S2+…+S_(n+1)-Sn=nS_(n+1)-(S1+S2+…+Sn) 【得到的结果中，S_(n+1)有n项，其余项正好是数列Sn的前n项的相反数，将它们合并起来，就是减去Sn的前n项和，其中nS_(n+1)=3n/2-n/(2·3^n), 代入Sn=3/2-an/2，有S1+S2+…+Sn=3n/2-(a1+a2+…+an)/2】 =3n/2-n/(2·3^n)-3n/2+(a1+a2+…+an)/2=Sn/2-n/(2·3^n)<Sn/2. 得证! 这道题还是蛮有代表意义的，没准今年高考，你就会在高考数学卷上看到这种类型的题目呢。还不赶快学一学 |
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