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这是高等数学关于微分中值定理的一道题目。微分中值定理包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并称三大微分中值定理。其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理则是拉格朗日中值定理的拓展。  下面这道题，很容易让人想到柯西中值定理的应用，而且解起来似乎特别简单，但是如果真的运用了柯西中值定理，却正好跳进题目的陷阱，造成连自己都很难发现的错误。我们直接看题吧： 已知函数f在[a,b]上可导. 证明：存在ξ∈(a,b)，使得2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f’(ξ). 分析：如果我们把等式改写成：f'(ξ)/(2ξ)=[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)。你应该马上会发现，这就是函数f(x)和x^2的柯西中值定理公式形式。因此很容易想到下面的解法： 错误解法：记g(x)=x^2, 则g’(x)=2x, f, g在[a,b]上符合柯西中值定理的条件， ∴存在ξ∈(a,b)，使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2), 从而有(b^2-a^2)f’(ξ)=g’(ξ)[f(b)-f(a)]=2ξ[f(b)-f(a)]. 怎么样？你发现上面的解题过程错在哪里了吗？其实我们这里并不能保证f(x)和g(x)=x^2符合柯西中值定理的条件. 因为我们只能保证f(x)和g(x)在[a,b]上连续且可导，满足柯西中值定理的条件I和条件II，但却不一定能满足g'(ξ)不等于0，以及g(a)不等于g(b)，即不一定满足柯西中值定理的条件III和条件IV. 所以上面的证明过程是错误的。 那到底应该怎么证明呢？其实这里要运用的是罗尔中值定理，解题的关键在于构造一个合适的辅助函数。正确的解法如下： 解：记g(x)=(b^2-a^2)f(x)-[f(b)-f(a)]x^2, 则 g(x)在[a,b]上可导. 由罗尔中值定理知，存在ξ∈(a,b)，使 g’(ξ)=(b^2-a^2)f’(ξ)-2ξ[f(b)-f(a)]=0, 即2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f’(ξ). 你看明白了吗？这道题真正考查的，是我们对柯西中值定理条件的掌握情况。这道题也可以让我们见识到数学严谨性的重要性。 |
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