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我们将“连点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上个点的所有线段中，垂线段最短”这样的问题称为最短路径问题。一次函数背景下的最短路径问题通常表现为：动点在直线上（一次函数或者x轴，y轴上），动点与两定点的距离之和最小，求点的坐标或者线段之和的最小值。  基本图形 1.一个动点 （1）.两点在直线的两侧 当点A,B,P三点共线时,PA+PB的值最小.(两点之间,线段最短)
（2）.两点在直线的同侧 ①作点A关于直线l的对称点A',连接PA'. ②连接A'B,与直线l交于点P',连接P'A. 当点A',B,P三点共线时，PA+PB的值最小,等于A'B.
2.两个动点 点P和点Q分别在直线MN和直线l上. ①作点A关于直线MN的对称点A',作点B关于直线l的对称点B'. ②连接A'B',与MN交于点P,与直线l交于点Q. ③连接AP,PQ,QB. 当点A',P,Q,B'四点共线时,PA+PQ+QB值最小,等于A'B'.
例1 在平面直角坐标系内,点A,B的坐标分别为(3,2),(4,-2). (1).连接AB,求直线AB与x轴的交点坐标； (2).在y轴上是否存在一点P使得,PA+PB的值最小; (3).先取另一点C(1,n),当n取何值时,CA+CB的值最小;
【分析】点C(1,n)的坐标特征：横坐标为1，纵坐标为n(n取所有实数)，例如（1，-1）（1,0）（1,1）（1,2）……，因此点C(1,n)所有点的集合在坐标系内的图像是一条直线(x=1). 例2 在平面直角坐标系内,点A,B的坐标分别为(1,0),(0,2),点P直线y=-x+4上的一动点,直线y=-x+4分别交x轴,y轴于点C,D. (1).作出点P使得PA+QB的值最小; (2).求出(1)中点P的坐标.
【分析】由于直线y=-x+4与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，所以作出对称图形后，B'C⊥y轴，即C（B'C，OC），然后利用待定系数法求出直线A'B的函数解析式，最后联立方程组，求出交点P的坐标。如果作出对称图形后，，B'C不与y轴垂直，这种方法就无法求出点B'的坐标了。  例3 在平面直角坐标系内,点A,B的坐标分别为(2,3),(5,1),点P,Q分别是x轴,y轴上的动点. (1).在坐标轴上作出点P,Q使得PA+PQ+QB的值最小; (2).求出(1)中点P,Q的坐标.
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