渐开线齿轮的计算

• 1渐开线函数

1.1渐开线函数的定义

1.2工作压力角

• 2齿厚的计算
• 3计算圆和基节距
• 4中心距的计算
• 5变位系数的计算
• 6齿顶削顶的计算
• 7重合度ε的计算

渐开线函数

对于渐开线齿轮的计算，必须首先对渐开线齿面进行数学描述。下图显示了属于半径为 rb的基圆的渐开线。该渐开线上的点 P 可以用夹在直线 GP 和 GT 之间的角度 α 来描述。G点对应于基圆的圆心，T点对应于基圆上的切点。

图：渐开线函数定义

距离 TP 的长度与点 P 处渐开线的曲率半径 ϱ 相同。此外，距离 TP 对应于基圆上的圆弧距离 ST，因为发生线在滚动过程中不会在基圆上滑动。渐开线的构造：

渐开线函数的定义

虽然角度 α 清楚地描述了渐开线上的一个点，但在许多计算中，上图中绘制的角度 φ 更为重要。可以说，角度 φ 描述了渐开线齿的“厚度”。使用方程 (1）

方程（4）产生的函数 (5）

渐开线函数

渐开线函数的所有角度必须始终以弧度表示！

工作压力角

渐开线角和压力角用同一个希腊字母 α 表示并非巧合！渐开线函数中的渐开线角α可以解释为工作压力角αb，如果考虑的点 P 位于齿轮的工作节圆上，因此对应于节点C=P！

图：压力角和渐开线函数

由于作用线由穿过节点 C 的基圆的切线定义，因此距离 TP 是作用线的一部分。渐开线角α因此对应于工作压力角αb。如果点P位于齿轮的参考节圆上，则得到标准压力角α0！

计算齿厚

上一节中解释的渐开线函数可用于确定齿轮任意直径 d 上的齿厚 s。下图显示了几何关系：s0表示参考节圆上的齿厚，r0表示相应的参考节圆半径。在所考虑的距离 r 到基圆 G 的中心的距离处的齿厚用 s 表示。

图：齿厚计算

计算齿厚 s 的公式的推导是由上图中标出的黄色三角形完成的。黄色三角形的锐角可以通过角度δ0和δ 之差来确定，其中角度根据弧度定义为“弧长与半径长度之比”如下：

另一方面，黄色三角形的锐角也可以由角度φ和φ0的差值来确定。因此以下关系适用于角度 δ 和 φ 或 δ0和 φ0之间：

这个方程现在可以求解为齿厚 s 作为所考虑的直径 d 的函数：

角度 φ 和 φ0对应于可以使用渐开线函数 inv(α) 根据等式 (5)

图：计算齿厚的渐开线函数

由方程(10)可得

在上一节中解释了方程中的渐开线角α（10）
即使在待定齿厚s的圆上所考虑的点P不一定对应于实际的工作节圆，任何点P总是可以被认为位于工作节圆上。这是因为最终啮合节圆仅由啮合的两个齿轮之间的中心距离产生。由于中心距可以任意选择，因此理论上可以始终调整工作节圆，使其通过点P。

由于这种考虑，可以在其上确定齿厚s的圆的（工作节圆）直径d和（工作压力）角α之间建立联系。这种连接是由标准压力角 α0和相应的参考节圆直径 d0建立的，这种关系的基础是相同的基本圆直径 db在考虑工作节圆（使用参数 d 和 α 以及考虑参考节圆（使用参数 d 0和 α0）时相同：

注：方程中的角度α（13）根据方程的渐开线函数（5）得出。

上述等式中的角度 α 被视为“辅助量”，通常与工作压力角αb不对应！

分度圆和基圆齿距

周向节距 （圆形节距）是同一方向的两个相邻齿面之间的圆弧距离。在直径为 d 的任意圆上，圆节距 p 由圆周长度 π⋅d 与齿数 z 之比得出：

在直径为 d0的参考节圆的情况下，得到圆节距 p0：

图：齿距的计算

如果方程（19) 除以方程 (20)，则圆周节距 p0可用于在任意直径 d 和得到的圆周节距 p 之间建立连接：

根据等式（1212)，比值d/d0也可以用渐开线角α（对应于直径d）和渐开线角α0（对应于基准节圆直径d0 →标准压力角α0）来表示。这最终意味着考虑渐开线上的点，该点位于直径为 d (→α) 的圆上或直径为 d0 (→α0 ) 的参考节圆上。

如果方程（24) 应用于方程 (22)，节距 p 也可以如下确定：

方程中出现的项 p0 ⋅cos(α0 ) (25) 对应于基圆节距 pb，因此对应于啮合时在作用线上接触的两个齿面之间的距离（见下图）。

基圆上的节距对应于作用线上接触的两个齿面之间的距离！

图：基圆齿距的计算

由于圆节距 p0也可以用模数 m 和数 π 来表示（p0 =π⋅m），因此基节距最终适用：

计算中心距

在本节中，两个校正齿轮的中心距将根据各自的变位系数 x 确定。

起点是两个齿轮的无侧隙啮合，使一个齿轮的工作节圆上的齿厚与配对齿轮的工作节圆上的齿隙完全重合。相应的齿厚s1和s2的总和因此对应于齿轮的工作节圆上的圆周节距p，两者必须相同，否则齿不能啮合。

p =s1+s2 (27)

图：中心距的计算

不应将工作节圆上的圆节距 p 与参考节圆上的圆节距 p0混淆！

直径为 d 的任意圆上的齿厚 s 可以通过以下方程确定：（14） 和 （16)（索引为“0”的参数指的是参考节圆）：

由于在这种情况下渐开线函数inv(α)涉及工作节圆d 1或d 2，所以渐开线角α对应于工作压力角α b。对于方程 (2727) 最后适用：

等式中的工作节圆直径 d 1或 d 2 (3131) 可以通过将圆节距 p 定义为节圆周长 π⋅d 与齿数 z 的比值 (p = π⋅d/z) 来确定。因此，对于两个齿轮的工作节圆直径 d 1和 d 2适用：

方程（32） 现在可以应用于方程 (27):

根据渐开线函数 inv(α b )求解该工作压力角 α b方程最终得出：

请注意，渐开线函数不是代数函数，因此无法导出逆函数。在这种情况下，迭代牛顿法提供了确定工作压力角的可能性，后面的文章将会介绍如何计算。

如果通过这种近似方法确定工作压力角，则不仅可以确定工作节圆直径，还可以确定中心距，因为工作节圆直径d和基准节圆直径d0与工作压力角相关αb和标准压力角 α0根据方程 (24):

中心距“a”由工作节圆半径 r=d/2 之和得出：

请注意，齿轮也可以用负齿廓系数制造。如果轮廓偏移因子的总和为零，则获得与未校正齿轮情况相同的中心距（称为标准中心距a0）。工作压力角也相应于标准压力角α0。

轮廓偏移系数的计算

上一节推导了计算两个校正齿轮的中心距“a”的公式：

工作压力角 αb必须通过渐开线函数的近似方法确定：

然而，在某些情况下，要达到的中心距离是由变速箱固定的。然后必须通过特定的轮廓偏移来调整中心距。下面的动画显示了两个齿轮的齿廓位移对中心距的变化，齿廓位移系数为 x 1和 x2。

图：中心距随轮廓偏移的变化

如果预先给定中心距“a”，则工作压力角α b可以首先通过求解方程（41):

方程（42) 然后可以求解变位系数：

如果要通过轮廓偏移达到一定的中心距，则变位系数的总和必须满足方程（47）。只要满足这一点，原则上可以任意选择系数。然而，在两个齿轮上平均分配轮廓偏移系数是有意义的
，因此总和不应大于或小于一（即轮廓偏移的总和应在模数范围内）。

轮廓位移的总和应该是齿轮模数的顺序！

齿廓位移系数在两个齿轮上的分布还取决于齿尖随着齿廓位移而变得多尖。如文章Profile shift中所述，齿尖厚度应至少为模数的 0.2 倍。如果轮廓偏移不再是这种情况，则必须缩短尖端圆。这种尖端缩短将在下一节中更详细地讨论。

尖端缩短的计算

轮廓偏移与齿顶圆直径 da和根部直径 dd的增加有关：

在等式（49)，z 表示齿数，m 表示模数，x 表示变位系数，c 表示制造齿尖间隙。制造齿尖间隙由齿轮切削过程中的刀具轮廓产生。

制造齿顶齿隙 c 不得与工作齿顶齿隙 c b混淆，这实际上会导致两个齿轮啮合时的干涉！与标准齿轮的无间隙啮合相比，变位齿轮的无间隙啮合导致齿顶间隙减小，因为中心距的变化小于轮廓变化的总和。

图：齿顶间隙随变位系数的变化

等式中给出的制造齿顶齿间隙 c (49) 因此仅指切齿时刀具与齿轮之间的间隙（见下图）。另一方面，工作端齿间隙cb是指一个齿轮的齿顶与配对齿轮的齿根之间的实际运行时的间隙。只有在未变位的标准齿轮的情况下，制造间隙和工作间隙是相同的。

因此，如果要在工作期间保持所需的齿顶间隙c，则齿轮啮合时齿顶齿间隙的减小使得有必要缩短齿顶圆。必须将齿顶圆缩短到的量da*显示在以下部分中。

下图显示，工作齿顶间隙cb一般由中心距“a”、一个齿轮的齿根直径dd1和配对齿轮的齿顶直径da2决定：

图：工作尖齿间隙

如果方程（49) 应用于方程 (50)，则工作齿顶齿间隙 cb可以从制造齿顶齿间隙 c 确定如下：

如果要调整齿顶圆直径，使工作齿顶间隙 cb等于制造齿顶齿间隙 c=cb，则等式 (52) 可以解决缩短的尖端直径 da2 *：

图：齿顶缩短以获得一定的间隙

方程适用于齿顶直径 da1 *：

请注意，根据等式（55） 和 （56) 不依赖于齿顶间隙本身！

计算重合度

在渐开线齿轮的啮合原理一文中已经解释过，作用线与啮合齿轮的基圆相切。实际接触线从作用线与从动齿轮齿顶圆的交点A到作用线与主动齿轮齿顶圆的交点E。接触线 l 与基距p b（两个相邻接触点之间的距离）之比称为重合度 ε。

图：接触率的计算

对于连续动力传输，必须在前一个齿离开接触线之前啮合一个新齿。因此，接触比必须始终大于 1。两个轮廓变换齿轮的这种接触比的确定将在以下部分中说明。

由于基圆齿距 pb已经由等式（26)，只需计算接触线 l。对于计算接触线 l 的公式的推导，使用下图。该图显示距离T1E（黄色三角形）和T2A（蓝色三角形）的总和比距离T1T2大接触线l的量。对于接触线 l 因此适用：

图：接触率的计算

距离 T1 E 可以使用基圆直径 db1和（可能缩短的）齿顶圆直径 da1 *从黄色三角形确定：

距离 T2A 可以由蓝色三角形使用基圆直径 db2和（可能缩短的）齿顶圆直径 da2 *确定：

距离 T1 T2 =T1* T2*由下图中红色标记的三角形根据中心距离“a”以及基圆直径 db1分别得出。db2 ：

图：接触率的计算

方程（61), (63） 和 （65) 现在可以应用于方程 (59):

等式中的基圆直径 db (68) 可由模数m、标准压力角 α0和相应的齿数 z 确定：

最后，可以计算确定重合度 ε 的所有参数：

如果进行了削顶，则 da*对应于缩短的齿顶圆。

为计算接触比而给出的公式仅适用于没有底切的齿轮！在底切齿轮的情况下，接触线缩短，因此重合度降低！

今天就分享到这了，创作不易，喜欢这篇文章的小伙伴，希望能给个强力推荐，谢谢！