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前几天有朋友发了一个太极图的视频，挺有趣的。这个视频其实也反应了一种太极图来源和推演的观点，不过视频略显简陋，这里就详细论述下，先抛出一些概念： 一、日晷的概念探讨 “晷”，影的意思，“日晷”即日影。从字形上可以理解为，“晷”是太阳照射针杆在平（盘）面上的投影。“周髀”，古时候用于测量日影的标竿。用八尺长的标竿竖起来测量太阳中午照射的影子，夏至那天影子的长度为一尺六寸（0.4米）。立竿测影的方法既简便、实用又准确、可靠，为我国古代天文观察所广泛应用。依据不同的节气有不同的日影长度这一原理，我们祖先制作出度量日影长度的天文仪器——圭表。圭表由“圭”和“表”两个部件组成。直立于平地上测日影的标杆和石柱，叫做表，相当于《周髀算经》中的“髀”；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫做圭。 随着季节的变化，太阳东出西没的方位和正午的高度不同，圭表形成的日晷也就不同。我们祖先通过长年累月对日晷的观察、测量、比较，判断出日月星辰的运行存在规律，计算出日、月、年的变化周期，制定出指导农耕的天文历法。
故宫处的日晷
北京古星象台圭表 二、《周髀算经》中日晷与节气的记载 《周髀算经》：“冬至晷长丈三尺五寸。小寒丈二尺五寸。大寒丈一尺五寸一分。立春丈五寸二分。雨水九尺五寸三分。惊蛰八尺五寸四分。春分七尺五寸五分。清明六尺五寸五分。谷雨五尺五寸六分。立夏四尺五寸七分。小满三尺五寸八分。芒种二尺五寸九分。夏至一尺六寸。小暑二尺五寸九分。大暑三尺五寸八分。立秋四尺五寸七分。处暑五尺五寸六分。白露六尺五寸五分。秋分七尺五寸五分。寒露八尺五寸四分。霜降九尺五寸三分。立冬丈五寸二分。小雪丈一尺五寸一分。大雪丈二尺五寸。我们把这些数据整理列成以下表格：
上述两图体现了日晷影长周而复始的循环，阴阳消长。 按照《周髀算经》记载的数据如表一所示，可以推算出日晷观测点的地理纬度。冬至日晷长度L1=3.3750米，夏至日晷长度L2=0.40米，表长L=2米。设冬至表杆投影角为θ1，夏至表杆投影角为θ2，表长、日晷长度与投影角之间的关系式如下： 圭表测影示意图 L1 = L tan(θ1) (1) L2 = L tan(θ2) (2) 将观测数据代入计算可得： θ1 ≈ 59.3492° θ2 ≈ 11.3099° 日晷观测点的地理纬度φ为 φ=（θ1+θ2）/2 ≈ 35.33° 赤道与黄道的交角ε为 ε=（θ1-θ2）/2 ≈ 24.02° 因为《周髀算经》中没有标明“日中立竿测影”的确切地点，我们只有通过数据计算作推测，日晷观测点在纬度大约35.33°左右的地方，其实这里也是中国传统意义上的中原地区。 地球自转产生的赤道面与地球公转产生的黄道面之间的夹角为黄赤交角，黄赤交角目前为23°26′。经过人们长期观测发现，随着地球在太空中位置的改变，黄赤交角也在发生微小的改变，慢慢往减小的方向变化，这与计算的结果24.02°也相当一致，误差仅为35′。 从圭表测影示意图可以清楚地看出，日中日晷长度的变化是由赤道与黄道的交角ε引起的，所以说，地球黄赤交角的存在是形成春夏秋冬季节变化的根本原因。
这个极坐标图能直观体现出节气变化和日晷影长的变化，日晷长度的变化只从一个端点考虑，要么从冬至开始，要么从夏至开始，这里只考虑了日晷长度变化的结果，所以还需再改进一下思路。 四、节气与日晷损益（阴阳）数理关系
假设日晷平衡系统为S,日晷长度为阴，用Y表示，光照的长度为阳，用X表示。那么，日晷中阴、阳之间的关系为： X=冬至日影-平常日影=3.375-x Y=平常日影-夏至日影=x-0.4 S=X+Y=冬至日影-冬至日影=3.375-0.4=2.975m,X=2.975-Y,Y=2.975-X 根据《周髀算经》测量记录数据可计算得， 冬至：X= 0m ， Y = 2.9750m ， S = 2.9750m(阴极） 春分、秋分：X= 1.4875m ，Y = 1.4875m ， S = 2.9750m（阴阳平衡） 夏至： X =2.9750m ，Y =0m ， S= 2.9750m（阳极） 最关键的一点就是阴阳的转变，阴阳到达极点的时候，各自向相反的方向变化，即阴极阳生，阳极阴返。如果从冬至经春分到夏至的日晷长度用阴表示，那么，从夏至经秋分到冬至的日晷长度则用阳表示。 根据上述公式可得
再在这个图的基础上调整下，隐去一阴一阳，可得
由日中立竿测影，从日晷推算太极两仪极图绘制，这个过程也体现了古人说的“仰观天文，俯察地理，远取诸物，近取诸身” 额外发散： 其实根据上面的数据和函数可知，可尝试建模分析。 假设太极稳态系统为S，设阳为X,阴为Y，从最常见的勾股定理开始推导:
由a²+b²=c²得（a/c）²+(b/c)²=1,其中a,b为直角边长，c为斜边边长。 假设阳X=（a/c）²，阴Y=(b/c)²,则太极稳态系统S=X+Y=1，即阴阳之和恒等于1，这里可以变换三角函数来表示： X=（a/c）²=sin²α=（1-cos2α）/2 Y=(b/c)²=cos²α=（1+cos2α）/2
看到这里，就明白其实就是上面节气推导的理论抽象出来的模型。 虽然X，Y的幅角范围为α∈[-∞，+∞]，但是具有周期性，T=2π，所以还可以再简化 X=（1-cosα）/2（1） Y=（1+cosα）/2（2） 一、其实结合三角函数的特性，能看到阳X和阴Y具有对立统一的特性，辐角相差π，即180°时，极坐标系是原点对称位置； 二、从函数曲线能看出来，阴阳函数是互相包含，即阳中有阴，阴中有阳。当阳进则阴退，反之则成，具有阴消阳长，阳消阴长的特性； 三、当辐角α从0-π或者π-2π变化时，α=π或α=2π时，阴阳达到极大值或者极小值，阴阳便开始向相反方向转换，体现了在一定条件下，阴阳的相互转化特性； 四、考虑三角函数的周期放缩性，太极系统具有放缩性，也就是具有相互生化性，旧系统可以孕育新系统，新系统又会产生更新系统，生生不息，体现事物的发展性。体现“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的事物相互作用。 总结：本文从史书统计的数据来归纳总结出函数，然后从特殊到一般，做一般的数学推广化，颇有趣味。 |
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