重点公式
初中知识
一、
二、因式分解常用的公式
三、分式：除式中含有字母的有理式叫分式，分式有意义的条件是分母不零
1.分式的基本性质：
(M为整式，且
)
2.分式的运算：
加减法：
乘除法：
乘方： （n为正整数）
四、1.一元二次方程的求根公式： （）
2.韦达定理：；
第一章
一、非空集合A有：子集：个；真子集：个；非空真子集个数：个
二、两个实数大小的比较
第二章
一、不等式的性质
1.对称性：
2.传递性：
3.（同加）
4.
5.（1） 加法运算（同向加）：
（2）减法运算：统一成加法运算
6.（1）(正向同乘)
（2）除法运算：统一乘法运算
7.乘方运算（正乘方）：
8.开方运算（正开方）：
9.(同号倒)
二、均值定理
1.
2.
三、重要不等式
1.
2.
3.
第三章
一、
1.正比例函数
2.一次函数
二、函数叫做二次函数
三、二次函数的图像是一条抛物线
四、任何一个二次函数都可把它的解析式配方为顶点式；
性质
1.图像的顶点坐标为，对称轴是直线
2.当，函数在区间上是减函数，在上是增函数，
当，函数在区间上是减函数，在上是增函数，
3.最值
（1）当，函数图像开口向上，当时，
（2）当，函数图像开口向下，当时，
1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法
2.无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴，但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向
五、常见函数的表达式：
1.正比例函数表达式：
2.反比例函数表达式：
3.一次函数表达式：
4.二次函数表达式：
一般式：
顶点式：
两根式：的两根，或函数与轴的交点的横坐标
第四章
一、幂的有关概念
1.正整数指数幂：
2.零指数幂：
3.负整数指数幂:
4.正分数指数幂：
5.负分数指数幂：
三、实数指数幂的运算法则
1.
2.
3.
四、函数叫做指数函数
五、一般地，指数函数在其底数这两种情况下的图像和性质如下表所示：
(1)
(2)
(3)函数的图像都通过点（0,1）
(4)在上是增函数
(5)当
(1)
(2)
(3)函数的图像都通过点（0,1）
(4)在上是减函数
(5)当
六、对数概念
如果，那么,其中
特别底，以10为底的对数叫做常用对数，
七、对数的性质
1.1的对数等于零，即
2.底的对数等于1，即
3.零和负数没有对数
八、积、商、幂的对数：
1.
2.
3.
九、换底公式：
十、对数恒等式：
十一、对数函数：形如的函数我们称为对数函数
十二、一般地，对数函数在其底数这两种情况下的图像和性质如下表所示：
(1)
(2)
(3)函数的图像都通过点（1,0）
(4)在上是增函数
(5)当
(1)
(2)
(3)函数的图像都通过点（1,0）
(4)在上是减函数
(5)当
十三、指数方程及解法
1.定义法：
2.同底比较法：
3.换元法：
十四、对数方程及解法
1.定义法：
2.同底比较法：
3.换元法形如：
第五章
一、利用数列的前
这里是用两个式子联合起来表示的，切莫忘记前一个式子，事实上，当时，没有意义，因而第二个式子也无意义
二、等差数列定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，记为
等差数列的一般形式为
三、等差数列通项公式
四、等差数列前项和公式
记，则
在五个量中，已知任意三个量可求出另两的量，即“知三求二”
五、等差中项
对给定的实数
的等差中项，且
六、等差数列的性质
1.在等差数列中，若公差，则此数列为常数列；若，则此数列为递增数列；若，则此数列为递减数列
2.在等差数列中，
3. 在等差数列中，若正整数满足，则有
4. 在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成一个新的等差数列，如仍然是等差数列
5. 在等差数列中，每连续项之和构成的数列仍然是等差数列，如仍然是等差数列
6. 有穷等差数列中，与首末两端距离相等的两项之和相等，并等于首末两项之和，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即
在三个成等差数列的数中，一般设为：
七、等比数列定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，记为
等比数列的一般形式为
八、等比数列通项公式
九、等比数列前项和公式
记，则
1.以上的两个式子都是针对的情况，当时，数列为常数列，故
2.在五个量中，已知任意三个量可求出另两的量，即“知三求二”
十、等差中项
对给定的实数
的等比中项，且
1.两个实数必须是同号的，即，这时才有等比中项
2.其中的一个值，当是正数时，有称为的几何平均数
十一、等比数列的性质
1.在等比数列中，若公比，则此数列为常数列；若，则此数列为递增数列；若，则此数列为递减数列
2.在等比数列中，
3. 在等比数列中，若正整数满足，则有（特殊地，若）
4. 在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成一个新的等比数列，如仍然是等比数列
5. 有穷等比数列中，与首末两端距离相等的两项之和相等，并等于首末两项之积，若项数为奇数，还等于中间项的平方，即
6. 在等比数列中，每连续项之和（积）构成的数列仍然是等比数列
如仍然是等比数列；也仍然是等比数列
在三个成等比数列的数中，一般设为：
第六章
一、
二、弧长公式：
三、扇形的面积公式：
四、任意角的三角函数的定义
定义：在平面直角坐标系中，设点的终边上的任意一点，且该点到原点的距离为，则
五、三角函数的符号
六、特殊角的三角函数值
七、平方关系：
八、商数关系：
九、倒数关系：
十、诱导公式：
1. 
2.终边相同的角，其同名三角函数值同
3.奇变偶不变，符号看象限
十一、两角和与差的三角函数的公式
十二、倍角公式
十三、半角公式
十四、三角函数的图像与性质
图像
定义式：R
值域：
周期性：最小正周期
奇偶性：
奇函数
单调性：在
在
图像
定义式：R
值域：
周期性：最小正周期
奇偶性：
偶函数
单调性：在
在
图像
定义式： 
值域：R
周期性：最小正周期
奇偶性：
奇函数
单调性：在每个区间
十五、正弦性函数:
十六、余弦性函数: 
十七、正切性函数: 
十八、辅助公式：
（其中
）
十九、三角形中的边角关系
1.
2.大边对大角，大角对大边
3.直角三角形中：
二十、余弦定理
二十一、正弦定理
二十二、三角形面积
第七章
一、运算律
若
1.
2. 
3. 
数乘向量的运算律与实数的运算律类似
二、向量平行的充要条件
若
当
三、向量内积的概念与性质
1.两向量的夹角
已知两个非零向量
，作
则
是向量的夹角，记作
，规定
①同向时，=
②反向时，=
③
时，=
2.内积的定义
①
的结果是一个实数，可以等于正数、负数、零
②
叫做
方向上正射影的数量
3.内积的性质
①如果
是单位向量，则
②
③
④
⑤
四、向量内积的运算律
1. 
2. 
3. 
一般地，
，也就是说，向量内积没有“乘法的结合律”
五、设A、B两点的坐标分别是
则
六、向量直角坐标运算
1.设
，
则
2.
3.若，则
七、向量长度坐标运算
1.若，则
2.若
,则
也叫A、B两点的距离，记为
,上式也叫两点距离公式
八、中点公式
设，线段AB的中点坐标为
，则
九、平移变换公式
点平移公式：
若把点
十、两向量平行于垂直的条件
设，，则
十一、图像平移公式：
一般地，函数
的图像平移向量
后，得到的图像的函数表达式为
第八章
一、直线的倾斜角和斜率
1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与
轴的正方向所成的最小正角
，称为直线的倾斜角
规定：当
倾斜角的范围是：
2.直线的斜率：若为直线
的倾斜角，当
时，将
叫做直线的斜率，记作：
，当
，直线的斜率不存在
3.斜率的计算公式：
①
②如果
为直线的一个方向斜率，且
③如果
为直线的一个法向量，且
④如果
是直线上的两个点 ，且
二、直线的方程
1.直线方程一览表
名称 | 已知条件 | 直线方程 | 说明 |
点向式 | 
| 
| 上式可表示任何直线 下式不能表示平行于 轴的直线 |
点法式 | 
| 
| 可表示任何直线 |
点斜式 |
斜率 | 
| 不能表示平行于 轴的直线（即斜率不存在） |
斜截式 | 直线的斜率 直线在轴上的截距 | 
| 不能表示平行于轴的直线（即斜率不存在） |
两点式 | 
| 
| 不能表示平行于轴的直线 |
截距式 | 直线在 轴上的截距 直线在轴上的截距 |  
| 不能表示平行于轴的直线和过原点的直线 |
一般式 |
|  
| 可表示任何直线 |
2.特殊的直线方程
①平行于
轴的直线方程：
②平行于轴的直线方程：
③过原点的直线方程：
三、两条直线的位置
直线 条件 | 一般式 | 斜截式 |
(设系数均不为零) | 
|
位 置 关 系 | 平行 | 
| 
|
重合 | 
| 
|
相交 | 
| 
|
垂直 | 
| 
|
当一般式方程
系数有为零时
1. 
则
;
2. 
则
四、待定系数法求直线方程
已知直线
：
，则
与平行的直线方程可设为：
与垂直的直线方程可设为：
五、两直线的夹角
1.定义：两条直线相交，组成两对对顶角，其中不大于
的角叫做两条直线的夹角；当两直线平行或重合时，规定夹角为0，常用
表示两直线的夹角
2.范围：
3夹角公式：
① 设，则
②,
则
六、点到直线的距离公式
1. 点到直线的距离公式
设点
到直线：的距离为
，则
2. 两条平行直线间的距离公式
设，的距离为，则
七、定义：平面内，与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径
八、圆的标准方程
圆心在点
，半径为
的圆的标准方程是
特殊地，圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是
九、圆的一般方程
把圆的一般方程化为标准方程的形式就是：
1.当
>0时，方程表示一个圆的方程，圆心为（
，
）
半径为
2. 当=0时，方程表示一个点（，）
3. 当<0时，方程不表示任何图形
十、点与圆的位置关系
对于点和圆或，点P到圆心距离记作
1. 点P在圆内
十一、圆与直线的位置关系
直线：，圆C:
有直线和圆的方程联系得到关于
的一元二次方程，求出判别式
1. 直线与圆相离圆与直线没有公共点<0圆心到直线的距离
2. 直线与圆相切圆与直线有一个公共点=0圆心到直线的距离
3. 直线与圆相交圆与直线有两个公共点>0圆心到直线的距离
当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离=
，最小距离=
其中为圆心到直线的距离，知圆上的一点
，则过点P的圆的切线方程为：
十二、圆与圆的位置关系
圆
，圆
，
1.外离
2外切
3.相交
4.内切
5.内含
十三、椭圆定义：平面内，与两定点
的距离的和等于常数（大于
）的点轨迹叫做椭圆，定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
第二定义：平面内，与一个定点F的距离和到一条定直线的距离的比是常数
的点的轨迹叫做椭圆，定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线叫做与该焦点对应的准线（一个椭圆有两个焦点和两条准线）常数
叫做椭圆的离心率
十四、椭圆的标准方程和几何性质
定义：M为椭圆上的点
焦点位置：轴
图形：
标准方程：
参数关系：
范围：
对称性：对称轴：
轴、
轴 对称中心：原点
焦点：
顶点：
轴长：长轴长
；短轴长
准线：
离心率：
焦点位置：轴
图形：
标准方程：
参数关系：
范围：
对称性：对称轴：轴、轴 对称中心：原点
焦点：
顶点：
轴长：长轴长；短轴长
准线：
离心率：
十五、双曲线定义：平面内，与定点
的距离的差的绝对值等于常数（大于0小于
）的点轨迹叫做双曲线，定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
第二定义：平面内，与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数
的点的轨迹叫做双曲线，定点叫做双曲线的一个焦点，定直线叫做与该焦点对应的准线（双曲线有两个焦点和两条准线）常数
叫做双曲线的离心率
十六、双曲线的标准方程和几何性质
定义：M为双曲线上的点
焦点位置：轴
图形：
标准方程：
参数关系：
范围：
对称性：对称轴：轴、轴 对称中心：原点
焦点：
顶点：
轴长：实轴长；虚轴长
准线：
渐近线：
离心率：
焦点位置：轴
图形：
标准方程：
参数关系：
范围：
对称性：对称轴：轴、轴 对称中心：原点
焦点：
顶点：
轴长：实轴长；虚轴长
准线：
渐近线：
离心率：
十七、抛物线定义：平面内与一个定点F的距离和到一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
第二定义：平面内，与一个定点F的距离和到一条定直线的距离的比是常数
的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，常数叫做抛物线的离心率
十八、抛物线的标准方程和几何性质
焦点位置：轴正半轴
图形：
标准方程：
范围：
对称性：对称轴：轴
焦点：
顶点：原点：（0,0）
准线：
离心率：
焦点位置：轴负半轴
图形：
标准方程：
范围：
对称性：对称轴：轴
焦点：
顶点：原点：（0,0）
准线：
离心率：
焦点位置：轴正半轴
图形：
标准方程：
范围：
对称性：对称轴：轴
焦点：
顶点：原点：（0,0）
准线：
离心率：
焦点位置：轴负半轴
图形：
标准方程：
范围：
对称性：对称轴：轴
焦点：
顶点：原点：（0,0）
准线：
离心率：
