月考试卷

本讲教育信息】

一. 教学内容：

月考试卷

 

【模拟试题】

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上）

1.  函数的最小正周期是       

2. 已知两点A（0，6），B（a，-2）间的距离是10，则实数a=        

3. 函数的定义域是     

4. 若集合，，那么     

5. 幂函数的图象经过点，则的解析式是；     __

6. 命题“存在x∈Z使x²+2x+m≤0”的否定是              .

7. 已知向量，若与垂直，则＝    

8. 若圆锥的表面积是，侧面展开图的圆心角是，则圆锥的体积是_______

9. 等差数列中，已知前15项的和，则＝      。

10. 圆上与直线的距离等于的点共有    个

11. 斜率为2且与圆相切的切线方程为              .

12. 若的内角满足，则_______

13.  如图，l₁、l₂、l₃是同一平面内的三条平行直线，l₁与l₂间的距离是1， l₂与l₃间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l₁、l₂、l₃上，则△ABC的边长是        

14. 当时，对任意的恒成立，则实数的取值范围            。

 

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. （本小题满分14分）。已知，，其中（1）求证：（1）与互相垂直；

（2）若与的长度相等，求的值（为非零的常数） 

16. （本小题满分14分） 在中，，.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长.

17. （本小题满分15分）

已知三点

（1）求直线AB的倾斜角。

（2）判断三角形ABC的形状。

（3）求△ABC的外接圆的方程。

18. （本小题满分15分）

如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

（1）求证：BM∥平面PAD；

（2）求证：面PDC⊥面PAD

（3）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；

19. （本小题满分16分）已知等差数列的公差不为零，首项且前项和为.

（I）当时，在数列中找一项，使得成为等比数列，求的值.

（II）当时，若自然数满足并且是等比数列，求的值。

20. （本小题满分16分）设函数是定义在上的奇函数，且函数的图象在处的切线方程为。

（1）求的值

（2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围；

（3）若对任意的都有成立，求实数的取值范围

 

附加题（时间30分钟，第1，2小题每题8分，3，4小题每题12分。）

1. 已知x+2y+3z=1，求 的最小值。

2. 求曲线C：在x=1处的切线l的方程，并求曲线C，切线l以及y轴围成图形的面积。

3. 如图，正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为，的中点。

（1）求证：是平面的一个法向量；

（2）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角。

                   

4. 在数列中，，其中.

（1）计算的值，

（2）由此猜想的通项公式，并用数学归纳法证明。

 

【试题答案】

一、填空题

  1. 3            2.                   3.

4.  

解析：，故。

5.           6. 任意x∈Z，都有x²+2x+m>0                7. 2         8.

9. 6

解析：.

10. 3

解析：因为圆心坐标，半径为，所以圆心到直线的距离等于半径的一半，所以圆上与直线的距离等于的点共有3个）.

11.           

12.  

解析：由，可知是锐角，所以，又

，所以

13.  

解析：过A向l₂作垂线，垂足为D，设∠ABD＝θ，则∠CBD＝60°－θ。

。

14.

 

二、解答题

  15. （1）证明：∵

∴

（2）解：∵与的长度相等

∴

∴

  16. 解：（Ⅰ），

.

又，

.

（Ⅱ），

边最大，即.

又，

角最小，边为最小边.

由且，

得.

由得：

.

所以，最小边.

  17. （1）解：

∴倾斜角为。

（2），

又

∴△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形。

（3）由（2）知圆心为斜边BC的中点，半径为。

所以所求圆的方程为：

  18. 解：（1）是的中点，取PD的中点，则

，又

四边形为平行四边形

∥，

∥

（2）由（1）知为平行四边形

，又

    同理，

_∵

∴面PDC⊥面PAD

（3）以为原点，以、、

所在直线为轴、轴、轴建

立空间直角坐标系，如图，则

，，，

，，

在平面内设，

，，

由        

由        

解法二：

_{（3）由（2）知}

 

为矩形

∥，，

_，又

 

_∵

 

作故

_作交于，在矩形内，，

，    为的中点

当点为的中点时，                                 

  19. 解析：（I）数列的公差，

∴，

由成等比数列

则，得，

又

（II）是等差数列，

，

又成等比数列，所以公比，

又是等差数列中的项，

  20. 解：（1）∵是定义在上的奇函数

∴

∴

又的图象在处的切线方程为，

由

，

（3）设

记，其中，则

当时，，在上单调递增。

当时，，在上单调递减。

在上的最大值是，则，

记，其中

则，在上单调递减。

在上的最小值是，则，

综上所得所求实数的取值范围是

 

附加题：

  1.

  2.

  3. （1）证明：建立如图所示的直角坐标系，

则，，

∴是平面的一个法向量

（2） AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角所成的角是

 

  4.

（2）由此猜想的通项公式

下面证明：

①当n=1时显然成立。

②假设=k时成立， 则有

即n=k+1时成立，根据①、②可得对于任何自然数均成立。