江苏省扬中、六合、句容、省溧、中华、江浦、华罗庚七校2017届高三上学期期中联考试题数学

2017届高三七校联考期中考试数学试卷

第Ⅰ卷 2016年11月

说明：本卷满分为160分.考试时间为120分钟.

一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．

1.已知复数z₁＝1＋3i，z₂＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z₁－z₂对应的点在第 ▲ 象限．

2．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，

[50，60)，…，[90，100]后得到频率分布直方图(如下图所示)，则分数在[70，80)内的人数是 ▲ ．

S←1 I←3 While S≤200 S←S×I I←I＋2 End While Print I

(第2题) (第4题)

3.在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S₁和S₂，则S₁>2S₂的概率是 ▲ ．

4．执行右上边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．

5．设等差数列的前项和为，若，则 ▲ ．

6．已知函数是奇函数，当时，，且，则 ▲ ．

7.设函数的部分图象如图所示.则= ▲

(第7题)

8.如图，在的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量与的夹角余弦值是 ▲ ．

9．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则tan(β－α)的值为 ▲ ．

10.正数x、y满足x＋2y＝2，则的最小值为 ▲ ．

11.已知直线l：x－y＝1与圆M：x²+y²－2x＋2y－1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于

直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为 ▲ ．

12．如图，梯形中，，，，

若，则 ▲ ．

13．设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n＝kn²＋n，n∈N^*，其中k是常数．若对于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m成等比数列，则k的值为 ▲ ．

14．若，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ．

二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤．

15．（本小题满分14分）

在中，已知，向量，，且.

(1) 求A的值；

(2) 若点D在边BC上，且3＝，AD＝，求△ABC的面积．

16. （本小题满分14分）

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；

（2）设M为棱CC₁的点，且满足BM⊥B₁D，求证：平面AB₁D⊥平面ABM．

17.（本小题满分14分）

已知椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)，离心率为，左准线方程是，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求ΔAOB面积取得最小值时，线段AB的长度；

18.（本小题满分16分）

如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．

(1).若，求的长度；

(2).当点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．

19.（本小题满分16分）

设数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；

（3）设，数列的前n项和为.求.

20．（本小题满分16分）

对于两个定义域均为D的函数f(x)，g(x)，若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f(x)－g(x)|≤M，则称M为函数f(x)，g(x)的“差距”，并记作||f(x)，g(x)||．

（1）求f(x)＝sinx(x∈R)，g(x)＝cosx(x∈R)的差距；

（2）设f(x)＝(x∈[1,e])，g(x)＝mlnx(x∈[1, e])．(e≈2.718)

①若m＝2，且||f(x)，g(x)||＝1，求满足条件的最大正整数a；

②若a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，求实数m的取值范围．

2017届高三七校联考数学试卷

第Ⅱ卷 附加题部分

说明：本部分共4大题，每题10分，共40分.考试时间为30分钟.

请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21(B)．（选修４－２：矩阵与变换）

已知a、b∈R，若M＝所对应的变换T把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a、b.

21(C)．（选修４－４：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，已知点P，直线，求点P到直线的距离．

22．（本小题满分10分）

已知曲线C：y²＝2x－4.

(1) 求曲线C在点A(3，)处的切线方程；

(2) 过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

23．（本小题满分10分）

已知整数n≥4，集合M＝{1，2，3，…，n}的所有含有4个元素的子集记为A₁，A₂，A₃，…，.

设A₁，A₂，A₃，…，中所有元素之和为S_n.

(1) 求并求出S_n；

(2) 证明：S₄＋S₅＋…＋S_n＝.

参考答案及评分标准

2017届高三七校联考期中考试数学试卷

第Ⅰ卷 2016年11月

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1.已知复数z₁＝1＋3i，z₂＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z₁－z₂对应的点在第 ▲ 象限．

答案：二 解析：z₁－z₂＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i，从而z₁－z₂在第二象限．

本题考查了复数的四则运算．本题属于容易题．

2．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，

[50，60)，…，[90，100]后得到频率分布直方图(如下图所示)，则分数在[70，80)内的人数是 ▲ ．

S←1 I←3 While S≤200 S←S×I I←I＋2 End While Print I

答案：30 解析：由题设可知a＝0.03，从而[70，80)人数为0.03×10×100＝30人．

本题考查频率直方图的基础知识，属于容易题．

(第2题) (第4题)

3.在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S₁和S₂，则S₁>2S₂的概率是 ▲ ．

答案： 解析：由题设可知P(S₁>2S₂)＝＝.本题考查几何概型的基础知识．本题属于容易题．

4．执行右上边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．

答案：11 解析：由流程图知.本题考查流程图中当循环语句．本题属于容易题．

5．设等差数列的前项和为，若，则 ．

答案：.本题主要考查等差数列的通项、前项和公式．本题属于容易题．

6．已知函数是奇函数，当时，，且，则 ．

答案：.本题属于容易题．

7.设函数的部分

图象如图所示.则= ▲

答案：.本题考查三角函数的图像和性质．本题属于容易题．

8．如图，在的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，

则向量与的夹角余弦值是 ▲ ．

答案：本题主要考查向量的运算．本题属于中等题．

9．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则tan(β－α)的值为 ．

答案： .本题考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式.本题属于中等题．

10.正数x、y满足x＋2y＝2，则的最小值为 ▲ ．

答案： 9 解析：＝(x＋2y)＝(2＋8＋＋·16)≥(10＋2)＝×18＝9，当且仅当＝4，x＋2y＝2，即y＝，x＝时“＝”成立．本题考查基本不等式综合应用．本题属于中等题．

11.已知直线l：x﹣y=1与圆M：x²+y²﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为 ▲ ．

答案：.本题考查直线与圆的位置关系．本题属于中等题．

12．如图，梯形中，，，，

若，则 ▲ ．

答案：.

13．设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n＝kn²＋n，n∈N^*，其中k是常数．若对于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m成等比数列，则k的值为 ▲ ．

答案：0或1 解析：∵ S_n＝kn²＋n，∴ 数列{a_n}是首项为k＋1公差为2k的等差数列，a_n＝2kn＋1－k.

又对于任意的m∈N^*都有a＝a_ma_4m，∴ a＝a₁a₄，(3k＋1)²＝(k＋1)(7k＋1)，解得k＝0或1.

又k＝0时a_n＝1，显然对于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m成等比数列；k＝1时a_n＝2n，a_m＝2m，a_2m＝4m，a_4m＝8m，显然对于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m也成等比数列．综上所述，k＝0或k＝1.

本题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查推理变形的能力．本题属于中等题．

14.若，且对任意

的恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ．

答案：，解析：易知在上均为增函数，不妨设，则

等价于即

令，则在为减函数，

则在上恒成立，恒成立

令，

，为减函数，在的最大值为

综上，实数的取值范围为.

本题主要考查函数导数的有关知识，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力．本题属于难题．

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15．（本小题满分14分）在中，已知，向量，，且.

(1) 求A的值；

(2) 若点D在边BC上，且3＝，AD＝，求△ABC的面积．

解：(1) 由题意知m·n＝sinA＋cosB＝0， (2分)

又C＝，A＋B＋C＝π，所以sinA＋cos＝0， (4分)

即sinA－cosA＋sinA＝0，即sin＝0. (6分)

又0＜A＜，所以∈(－，)，所以A－＝0，即A＝. (7分)

注：不写范围扣1分.

(2) 设||＝x，由3＝，得||＝3x，由(1)知A＝C＝，所以||＝3x，B＝.

在△ABD中，由余弦定理，得()²＝(3x)²＋x²－2×3x×xcos， (10分)

解得x＝1，所以AB＝BC＝3， (12分)

所以S_△ABC＝BA·BC·sinB＝×3×3×sin＝. (14分)

16. （本小题满分14分）在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；

（2）设M为棱CC₁的点，且满足BM⊥B₁D，求证：平面AB₁D⊥平面ABM．
证明：(1) 记A₁B∩AB₁＝O，连接OD.

∵四边形AA₁B₁B为矩形，∴O是A₁B的中点，

又∵D是BC的中点，∴A₁C∥OD. ………2分

又∵A₁C?∕平面AB₁D，OD?平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D. ………6分

注意：条件“A₁C?∕平面AB₁D，OD?平面AB₁D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！

(2)∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC. ………8分

∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
平面ABC∩平面BB₁C₁C＝BC，AD?平面ABC，

∴AD⊥平面BB₁C₁C.
【或利用CC₁⊥平面ABC证明AD⊥平面BB₁C₁C.】 ………10分

∵BM?平面BB₁C₁C，∴AD⊥BM. ………12分

又∵BM⊥B₁D，AD∩B₁D＝D，AD,B₁D?平面AB₁D，
∴BM⊥平面AB₁D.

又∵BM?平面ABM，∴平面AB₁D⊥平面ABM． ………14分

17．（本小题满分14分）已知椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)，离心率为，左准线方程是，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求ΔAOB面积取得最小值时，线段AB的长度；

解析：(1)设椭圆的半焦距为，则由题意的，解得

所以椭圆C的方程为＋y＝1.........4分

（2）由题意，直线OA的斜率存在，设直线OA的斜率为k，

若k＝0，则A(，0)或(－，0)，B(0，2)，此时ΔAOB面积为，AB＝．6分

若k≠0，则直线OA：y＝kx与椭圆＋y＝1联立得：

(1＋2k)x＝2，可得OA＝×， 8分

直线OB：y＝－x与y＝2联立得：B(－2k，2)，则OB＝2， 10分

S_ΔOAB＝OA×OB＝×，令t＝>1， 12分

则S_ΔOAB＝×＝(t＋)>，

所以S_ΔOAB的最小值为，在k＝0时取得，此时AB＝． ..........14分

(注：若利用S_ΔOAB＝(t＋)≥，忽略k≠0的条件，求出答案的，本问给2分)

18.（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．(1).若，求的长度；（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．

解．（1）连接, 过作垂足为 , 过作垂足为

在中，，……………4分

（2）设，

若，在中，

若则

若则 …………………8分

在中， ，

所以总路径长

…………………………10分

…………………………12分

令，

当 时，

当 时， …………………………14分

所以当时，总路径最短.

答：当时，总路径最短. …………………………16分

19．（本小题满分16分）

设数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；

（3）设，数列的前n项和为.求.

解：(1)当n=1时，，所以 （1分）

当n≥2时， ，且

所以 得： （3分）

则数列是以1为首项，为公比的等比数列，

数列的通项公式是 。 （4分）

(2) 由 且 所以：，

则：，，?? ?，（7分）

以上n-1个等式相加得：

则：＝2－，又 （9分）

所以： （10分）

（3）由题意知 （11分）

则

以上两式相减得 （13分）

则

恒成立

， 注：需用单调性证明唯一性，否则扣1分. （16分）

20．（本小题满分16分）

对于两个定义域均为D的函数f(x)，g(x)，若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f(x)－g(x)|≤M，则称M为函数f(x)，g(x)的“差距”，并记作||f(x)，g(x)||．

（1）求f(x)＝sinx(x∈R)，g(x)＝cosx(x∈R)的差距；

（2）设f(x)＝(x∈[1,e])，g(x)＝mlnx(x∈[1, e])．(e≈2.718)

①若m＝2，且||f(x)，g(x)||＝1，求满足条件的最大正整数a；

②若a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，求实数m的取值范围．

解：（1）|f(x)－g(x)|＝|sinx－cosx|＝|sin(x－)|≤，当x＝kπ＋，k∈Z时取“＝”，所以||f(x)，g(x)||＝（4分）

x	(0,16)	16	(16,＋∞)
h′(x)	－	0	＋
h(x)	↘		↗

（2）①令h(x)＝f(x)－g(x)＝－2lnx．则h′(x)＝－＝，令h′(x)＝0，则x＝16．列表：

∵h(1)＝1；当a＝3时，h(e)＝e－3，由于e³＞16，因此e＞2，所以e－3＞－1；

当a＝4时，h(e)＝e－4＜－1，故满足条件的最大正整数为3． （10分）

②法一：由a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，得|f(x)－g(x)|≤2，从而|－mlnx|≤2，所以－2≤－mlnx≤2．

当x＝1时，上式显然成立；

当x∈(1，e]时，上式化为≤m≤

令w(x)＝，则w′(x)＝＝＝＜0，

从而w(x)在(1，e]上递减，从而w(x)_min＝w(e)＝＋2，从而m≤＋2；

令v(x)＝，则v′(x)＝＝＝＞0，

从而v(x)在(1，e]上递增，从而v(x)_max＝v(e)＝－2，从而m≥－2，

所以－2≤m≤＋2

又由于||f(x)，g(x)||＝2，故m＝－2或m＝＋2，所以m的取值范围为{－2，＋2}．（16分）

法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝－mlnx，则h′(x)＝－＝．

（1）若m≤，则h′(x)≥0，从而h(x)在[1,e]上递增，又h(1)＝1，h(e)＝－m，所以－m＝2，m＝－2；

（ii）若m≥，则h′(x)≤0，从而h(x)在[1,e]上递减，又h(1)＝1，h(e)＝－m，所以－m＝－2，m＝－2；

（iii）若＜m＜，则由h′(x)＝0，可得x＝4m²，列表

x	1	(1, 4m2)	4m2	(4m2,e)	e
h′(x)		－	0	＋
h(x)	1	↘	2m－mln(4m2)	↗	－m

因为－m＜－＜2，所以2m－mln(4m²)＝－2，．

令u(m)＝2m－mln(4m²)＝m(2－ln4)－2mlnm

∴u′(m)＝2－ln4－2－2lnm＝－ln4－2lnm＝－2 ln2m＜0，

∴u(m)＞u()＝－＝，故该情况不成立．

综上，m的取值范围是{－2，＋2}． （16分）

2017届高三七校联考数学试卷

卷Ⅱ 附加题部分

本部分共4大题，每题10分，共40分。请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

附加：矩阵、极坐标与参数方程、曲线与方程、二项式定理

21(B)．（选修４－２：矩阵与变换）

已知a、b∈R，若M＝所对应的变换T把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a、b.

解：设，则 (3分)

∵ ，∴ 2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3.

即(－2－b)x＋(2a－3)y＝3. (6分)

此直线即为2x－y＝3，

∴ －2－b＝2，2a－3＝－1.则a＝1，b＝－4. (10分)

21(C)．（选修４－４：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，已知点P，直线，求点P到直线的距离．

解：点P的直角坐标为(3，)， (4分)

直线l的普通方程为x－y－4＝0， (8分)

从而点P到直线l的距离为

＝. (10分)

22．（本小题满分10分）

已知曲线C：y²＝2x－4.

(1) 求曲线C在点A(3，)处的切线方程；

(2) 过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

解：(1) ∵ 当y>0时y＝f(x)＝，∴ y′＝＝， (3分)

∴ k＝f′(3)＝， (4分)

∴ 切线为y－＝(x－3)，即x－y－1＝0. (5分)

(2) 设l：y＝kx，线段AB的中点M(x，y)．由得k²x²－2x＋4＝0，(6分)

∴ Δ＝4－16k²>0，∴ 16k²<4，即k²<2k²<>2. (7分)

设直线l与曲线C的交点A、B的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，则

x₁＋x₂＝－＝，y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＝，由中点坐标公式得 (9分)

消去k，得y²＝x，即所求轨迹方程为y²＝x(x>2)． (10分)

23．（本小题满分10分）

已知整数n≥4，集合M＝{1，2，3，…，n}的所有含有4个元素的子集记为A₁，A₂，A₃，…，.设A₁，A₂，A₃，…，中所有元素之和为S_n.

(1) 求并求出S_n；

(2) 证明：S₄＋S₅＋…＋S_n＝.

(1) 解：当n＝4时，集合M只有1个符合条件的子集， ＝1＋2＋3+4＝10，(1分)

当n＝5时，集合M每个元素出现了次，＝＝40，(2分)

当n＝6时，集合M每个元素出现了次，＝＝140，(3分)

所以，当集合M有n个元素时，每个元素出现了，故S_n＝·.(5分)

(2) 证明：因为S_n＝·＝，(7分)

则S₄＋S₅＋…＋S_n＝10()=. (10分)