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第17计 化归开门 江山一统 ●计名释义 整数乘法有口诀：2×3=6，5×7=35.这就是整数乘法的法则.分数乘法无口诀，那么分数在怎样作乘法呢？ 化归思想，连小学生都在用，有一老师问学生：前100个偶数的和为多少？一学生回答：10100. 老师问怎么来的？学生回答：由前100个自然数的和来的： 2+4+…+200=2×（1+2+…+100）=2×5050=10100. 这就是数学解题中的“化归法”，复杂向简单化归，陌生向熟悉化归，未知向已知化归。 ●典例示范 【例1】 已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1.求数列的通项公式及前n项和Sn. 【分析】 这个数列既不是等差数列也不是等比数列，但又看到其中既含等差数列又含等比数列：比如把递推式中的常数1去掉，则变成等比数列，把系数2换成1则变成等差数列.为此，破题工作在化归上寻找入口：向等比（等差）数列转换. 【解答】 在递推式an+1=2an+1两边加1，化为(an+1+1)=2(an+1)，数列{an+1}为等比数列，公比q=2. 所以an+1=2n-1(a1+1)，即an=2n-1，且Sn=2n-n-1. 【插语】 本数列的一般形式为：an+1=kan+b(k≠0、1，b≠0)，有人称其为“等差比数列”.等差、等比数列都是它的特例，分别是k=1，或b=0时的特殊情况.用换元法化归为等比数列的“常数匹配”可用待定系数法求得： 设an+1+c=k(an+c)=kan+kc 对于上题，b=1，k=2，因此解得c=1. 【点评】 化归开门体现在本题中：把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归采用的办法是换元，实际上是an+1+c=bn+1=kbn. 说来也很滑稽，对中学生来讲，不向“等比（等差）”化归，还有什么别的出路呢？ 【例2】 已知三条抛物线y=x2+4ax-4a+3，y=x2+(a-1)x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一条抛物线与x轴有交点，求实数a的取值范围. 【解答】 解答本题如果从正面入手，将要分有一条抛物线、两条抛物线、三条抛物线与x轴有交点的三类七种情况加以讨论，过程十分繁琐.但是如果转化为从反面思考，即考虑三条抛物线都不与x轴相交，则只要解下列不等式组：
【点评】 很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面，则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想. 【例3】
已知a，b，c均为正整数，且a2+b2+c2+48<4a+6b+12c，求 【点评】 将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段. ●对应训练 1.空间两条异面直线a，b所成的角为 A.θ∈Φ
B.θ∈{ C.θ∈［ 2.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则 A.2a
B. 3.函数f (x)满足:对任意实数x,y都有f (x)+f (y)= 求证： ●参考答案
就显得千头万绪.如右图所示， 过直线b上任意一点A作直线 a′∥a，a′与b确定平面a， 把点P移动到A点，问题便转化 为过A点作一条直线c′与直线a′，b 所成的角均为θ，求θ的取值范围. 易知当直线c′在平面a内时， 第1题解图 直线c′与a′，b所成的角最小为 2.解析 一般解法是先求出焦点F坐标为（0， 若把一般性的PQ的直线方程转化为特殊性的方程，即取PQ与x轴平行的方程y= 3.证明 易证f (x)为奇函数,且当x>0时都有f (x)<0.先从 由于 故有 再整体处理不等式左端数列的和有
依题意 故原不等式成立. 点评 本题融函数、数列、不等式为一体，正确解答本题的关键是注意整体和式与局部数列的通项的转化. 6 |
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