【原】2022年高考精彩小题系列2：乙卷理科12

和上文《2022年高考精彩小题系列1：新高考1卷12》一样，考察学生对函数方程的理解.

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函数方程，联立求解

题中给了2个函数方程，而我们要研究的是单个函数的性质，因此消元势在必行.

消元有两个方向：消f(x)，或者消g(x).

消元有两个手段：赋值消元法，和性质消元法.

赋值消元法，顾名思义就是对x进行赋值.当然这里的赋值是广义的，包括赋变量，使得两个方程的变量一致.

1. 消f(x)+赋值消元法

这个函数方程表明，g(x)的图象关于（3,6）对称.

因为g(x)的定义域为R，所以g(3)=6.

2.消g(x)+赋值消元法

这个函数方程表明，f(x)的图象关于(-1,-1)对称，又因为f(x)的定义域为R,则f(-1)=-1.

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性质消元法

注意到，g(x)有对称性，因此可以考虑利用这个性质进行消元.

这个函数方程表明，对于函数f(x)，任意两个相差2的自变量，它们的函数值之和为-2.

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正式解题

由上述结论，我们知道：

f(3)+f(5)=f(7)+f(9)=...=f(19)+f(21)=-2

f(4)+f(6)=f(8)+f(10)=...=f(20)+f(22)=-2

还缺少f(1)和f(2)的数值.

用特殊值进行赋值.

由f(x)+g(2-x)=5,令x=0，结合g(2)=4得f(0)=1.

由f(x)+f(x-2)=-2,令x=2，结合f(0)=1得f(2)=-3.

要想得到f(1)的值，必须对x赋奇数.

由g(3)=6及g(x)的图象关于x=2对称，得g(1)=6.

由f(x)+g(2-x)=5，令x=1,结合g(1)=6得f(1)=-1.

于是，原式=（-2）×5+（-2）×5+（-3）+（-1）=-24，选D.

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思考题

本题值得深入挖掘，函数对称轴、对称中心、奇偶性和周期性是相互关联的，思考下列问题：

1. f(x)是否具有奇偶性？
2. f(x)是否具有周期性？
3. g(x)是否具有周期性？

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