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类周期性函数问题 Ø方法导读 在研究函数性质的过程中,我们常常会遇到类周期性函数问题,如果遇到与类周期性函数相关的不等式恒成立的参数问题,那么我们应该如何处理这类问题呢?下面是我对于解决这一类问题的一些粗浅的理解,解决类周期性函数问题,可以根据函数值的变化情况,作出函数的图象,利用数形结合、函数与方程的思想,找到临界值,那么针对此类有关不等式恒成立的参数问题即可迎刃而解. Ø高考真题 【2019年全国Ⅱ卷12题】设函数 的定义域为 ,满足 ,且当 时, .若对任意 ,都有 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. Ø解题策略 【过程分析】在解决有关函数性质问题的题型时,自然而然会想到是否可以利用函数图像求解,对任意,都有,那么是否可以先求出的解集呢?求出对应的,根据函数与方程的思想,利用数形结合,最终确定的取值范围.所以本题的关键所在就是求出方程的解,那么如何求出方程的解,已知条件所给出的信息仅仅是分段函数一部分所在区间的解析式,当时,,根据所给解析式我们发现此时函数的值域为,函数值并不在这个范围之内,无形之中该题的难度蹭蹭的上升了一大节.函数值在哪一段函数上取得,对应的值是多少,在此求对应的受阻,那么我们又该如何处理此类问题呢? 【深入探究】对本题中方程的求解,我们可以利用函数的类周期性,求出分段函数的部分解析式,且不必急于求解方程的根,可以先求出每一段上函数所对应的值域,直到找到函数值所在的区间,得到函数值对应的函数解析式,进而求解方程的根,再结合函数解析式作出函数图像,利用数形结合思想,分析找出不等式成立时的临界点,故不等式恒成立的求参问题进而得解. Ø解题过程 【解析】∵,∴, ∵时,, ∴时,,, ∴时,,, 当时,由,解得或, 若对任意,都有,则. 故选:B.
Ø解题分析 上述解法中我们注意到方程无法直接求根,而是一步步求出每段函数的解析式,并求出函数在该段上所对应的值域,这样处理的好处在于通过对每段函数对应值域的求解,逐步确定所在的区间,得到函数值所对应的函数解析式,进而解得方程的根,将含参的不等式恒成立问题转化为确定的方程求解问题,利用数形结合找到不等式成立的临界点,从而使问题获解. Ø拓展推广 第一步:由函数的类周期性,判断函数值的变化情况(值域或最值); 第二步:作出函数的图象; 第三步:确定关键值所在的区间,求出临界点即可得出结果. 我们可将其称为解决类周期性函数问题的三步曲.不等式对应方程的解虽然隐形,但只要求出每段分段函数的值域,确定关键值所在的区间,解方程求出临界点,数形结合即可求出结果. 变式训练1 设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意的,都有,则的取值范围是__________. 变式训练2 设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是__________. 变式训练3 设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是( ) A B C D 变式训练4 设函数 的定义域为 ,满足 ,且当 时, .若对任意 ,都有 ,则 的取值范围是 A B C D 变式训练5 设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是 A B C D 转发，关注能看更多内容！ 回复标题可下载电子文档！ 答案 变式训练1 ∵,∴, ∵时,, ∴时,,; ∴时,,; ∴时,,; 当时,由,解得或, 若对任意,都有,则, 故答案为.
变式训练2 ∵,∴, ∵时,, ∴时,,, 当时,由解得或, 若对任意,都有,则.
变式训练3 D 当时,的最小值是;由知,当时,,其最小值是;当时, ,其最小值是;要使, 则,解得:或,然后数形结合可知时,都有恒成立. 变式训练4 D 作出当时,的图象, 由,可得将在的图象向左平移个,个,个单位, 同时点的纵坐标伸长到原来的倍,倍,倍, 将在的图象每向右平移个,个,个单位, 同时点的纵坐标缩短到原来的倍,倍,倍, 作出直线,如图所示:
对任意,都有, 可得只要找直线与函数在区间之间的右边的交点, 由,解得(舍去), 则. 变式训练5 B 当时,函数 在 上递增,在 上递减, 所以 , 由 ,可得当图象向右平移 个单位时, 最大值变为原来的倍,最大值不断增大, 由 ,可得当图象向左平移个单位时, 最大值变为原来的 倍,最大值不断变小, 当 时, , 当 时, , 当 时, , 设 时, , , 即 ,, 由 ,解得 或 , 根据题意,当 时, 恒成立. 
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