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2．7 函数的周期性
——函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然”出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题
一.明确复习目标
1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；
2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
二、建构知识网络
1.函数的周期性定义：
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的
2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C；
3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。
（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)
4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a
5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a
举例:y=sinx,等.
三.双基题目练练手
1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时f(x)=x+1，则f(π)的值为 （ ）
A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4
3. 是偶函数，且 为奇函数，则f(1992)=
4.设存在常数p>0,使 ，则 的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；
5.数列 中
简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为6。
四.经典例题做一做
【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。）
∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),
∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数
∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.
x∈(1,2).
解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)
如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数
∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.
又周期为2， x∈(1,2)时x-2∈（-1，0）
∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.
提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;
2.用好数形结合,对解题很有帮助. 【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求 f(2008)的值。
解：
周期为8，
法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。 方法提炼：
1.求周期只需要弄出一个常数;
2.注意既得关系式的连续使用.
【例3】若函数 在R上是奇函数，且在 上是增函数，且 .
①求 的周期；
②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z );
③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； 解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.
②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).
∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.
又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)
∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.
③设1∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).
(*)为f(x2)提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。
【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.
① 证明： ；②求 的解析式；
③求 在 上的解析式.
解：∵ 是以 为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴ ，∴ .
②当 时，由题意可设 ，
由 得 ，∴ ，
∴ .
③∵ 是奇函数，∴ ，
又知 在 上是一次函数，∴可设 ，而 ，
∴ ，∴当 时， ，
从而 时， ，故 时， .
∴当 时，有 ，∴ .
当 时， ，
∴
∴ . 五．提炼总结以为师
1.函数的周期性及有关概念;
2.用周期的定义求函数的周期;
3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系; 同步练习 2．7 函数的周期性
【选择题】
1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－ ）的值为
A.0 B. C.T D.－
2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0， ］时，f（x）=sinx，则f（ ）的值为
A.－ B. C.－ D.
【填空题】
3.设 是定义在 上，以2为周期的周期函数，且 为偶函数，在区间[2，3]上， = ,则 =
4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周
5.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)=
6.设f(x)定义在R上的偶函数，且 ，又当x∈(0，3]时，f(x)=2x，则f(2007)= 。
答案提示：1、A；由f（ ）=f（－ +T）=f（－ ）=－f（ ），知f（ ）=0.（或取特殊函数f（x）=sinx）
2、D； f（ ）=f（ －2π）=f（－ ）=f（ ）=sin = .
3、 ; 4、8；
5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)
∴f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -6
6、 ，周期T=6， F(2007)=f(3)=6 【解答题】
7.设函数f(x)的最小正周期为2002，并且f(1001+x)=f(1001－x)对一切x∈R均成立，试讨论f(x)的奇偶性.
解: ∵周期是2002, ∴ f(2002+x)=f(x),
又由f(1001+x)=f(1001－x)得f(2002-x)=f(x)
∴对任意的x都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数.
8.设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，已知x∈[2,3]时f(x)=x，求x∈[-2,0]时f(x)的解析式。
分析：由T=2可得x∈[-2,-1]和x∈[0,1]时的解析式；再由奇偶性可得[-1，0]上的解析式。
解：因为函数f(x)是T=2的周期函数，所以f(x+2)=f(x).
又由于f(x)为偶函数，故
所以解析式为 9.设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1思路分析：∵ f(x)+f(x+2)=0 ∴ f(x)=-f(x+2)
∵ 该式对一切x∈R成立，
∴ 以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)
当1∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5，∴ f(x)=-2x+5（1评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。
10.（2005广东）设函数 在 上满足 ， f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0。
（Ⅰ）试判断函数y=f(x)的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．
解：由 得 即
由已知易得 ，所以 ，而 ，从而 且
故函数 是非奇非偶函数;
(II)由
,从而知函数 的周期为
当 时， ，由已知 ，又 ，则
∴当 时，只有
∴方程 =0在一个周期内只有两个解
而函数 在闭区间［-2005，2005］共含有401个周期，所以方程 =0在闭区间［-2005，2005］共含有802个解
【探索题】对于k∈Z，用Ik表示区间(2k-1，2k+1］。已知x∈Ik时，f(x)＝ (x-2k)2，
(1)当k∈N*时,求集合Mk＝｛a｜使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根的a的值｝
(2)并讨论f(x)的周期性。
解：y＝f(x)图像就是将y＝x2(x∈（-1，1］）向右平移2k个单位所得，其中k∈N
设y1＝f(x),y2＝ax，由集合Mk可知，若a∈M，则函数y1＝f(x)与y2＝ax图像有 两个交点，即当x＝2k+1时，0＜y2≤1
∴0＜a≤
∴Mk＝｛a｜0＜a≤ ，k∈N｝，即Mk＝(0， ］
对任意
，
所以f(x)是2为周期的周期函数。
思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解；周期性的的讨论注要是看你运用定义的意识和能力
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