平面代数曲线的奇点考虑平面代数曲线 根据隐函数定理, 在光滑点邻近的结构是比较简单的——在光滑点邻近局部地全纯地对应于上的一块开集.可能出现麻烦的是奇点,即使得 的点. 让我们来看一看在奇点处将出现一些什么情况. 设是平面代数曲线上任意一点, 选择的坐标使得; 仍设的方程为, 记 则 对应的曲线是. 这里认为 以标准方式嵌入: 把写成次数递增的一些齐次多项式之和: 这里 是 次齐次多项式, . 由于 , 必有 . 如果, 那么 即 或者 这意味着是的一个光滑点. 这时 在点有唯一切线: 因而我们又说是的一个简单点. 要使 是的一个奇点,必须而且只须, 如果, 那么 而且 给出, 这时我们说是的一个二重点. 类似的, 如果, 那么 在点有三条切线(重切线重复计数), 它们满足方程 这时我们说是的一个三重点. 一般地,如果 那么在点有条切线(重切线重复计数),它们由方程 给出, 这时我们称为的一个重点. “ 例1: 考察代数曲线: 我们有 因而原点是的一个通常二重点. 例2: 考察代数曲线 我们有 原点也是的一个通常二重点. 例3: 考察曲线 我们有 此例中的原点是非通常二重点——尖点. 习题: 试证明 原点是以下曲线的通常三重点: 推荐阅读: |
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