【原】这种解法，能看懂的是学霸中的学霸，2022高考数学理科乙卷压轴题

2022高考数学理科乙卷的压轴题太过份了，竟然要运用到三阶导数。不仅如此，还要运用到极限的思想，这不仅是超纲，都快超出银河系了，连老黄吹牛的速度都赶不上了。常规分析完这道题，老黄还会提供一种非常另类的独创解法，能看懂这种解法的，都是学霸中的学霸。老黄是个糟老头子，已经没有资格去评选学霸了，所以老黄并非“王婆”！

已知函数f(x)=ln(1+x)+axe^(-x).

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若f(x)在区间(-1,0), (0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围.

分析：(1)不论题目有多难，第一小题永远是送分的。求x=0处的导数，就是切线斜率，然后求x=0的函数值，得到切点坐标。有斜率，有一点坐标，运用点斜式就有切线方程。而且这道题的切点还是原点，只要有斜率就搞定了。这么容易的问题，和第二小题形成鲜明的对比。

(2)其实如果第(1)小题的图像画出来，就能得到一些启发。

上图是当a=1时的图像，因此我们可以猜想，当a大于0时，函数可能在两个区间都没有零点，事实上，我们只需挑选容易证明的一侧区间来检验就可以了。而且当a=0时，也属于这种情形。

由第一种情形，我们又可以得到启发，只要找一些特殊值，作出草图，大约就可以推出a的取值范围了。整个过程就像在摸虾一般。下图是当a在[-1,0)上时的情形：

可以看到，在这种情形下，虽然在左边的区间有唯一的零点，但在右边的区间仍不存在零点。因此继续把a取得更小。下图是当a小于-1时的情形：

现在我们就大概找到答案了，猜想答案就是a小于-1. 把解答题转化成证明题。否则想通过运算直接得到结果，就只能用老黄独创的方法了。不过想要证明，可真不容易哦。下面组织解题过程，在解题过程中为大家分析：

解：(1)当a=1时, f’(x)=1/(1+x)+(1-x)e^(-x),

f’(0)=2, f(0)=0，即切点为原点. ∴切线方程为：y=2x.

(2)f’(x)=1/(1+x)+a(1-x)/e^x=(e^x+a(1-x^2))/(e^x(1+x)), 【使分母大于0，因此只要分析分子的情形就可以了，这是非常常用的方法】

I.若a大于等于0, 则在(-1,0)上有f’(x)>0, f(x)单调增, 并且 f(x)<f(0)=0, 舍去!【由于“a加不等号”容易被判为敏感词，所以这里关于a的不等式全部改用文字说明】

记：g(x)=e^x+a(1-x^2), 则g’(x)=e^x-2ax, 【这其实就用到二阶导数了】

II.若-1小于等于a小于0，则在(0,+∞)上, g’(x)>0, g单调增，

g(x)>1+a大于0, 即f’(x)>0, 并且 f(x)>f(0)=0, 舍去! 【前面都分析过了，还算比较简单。接下来才是重头戏 ，要分别证明当a小于-1时，在两个区间上都有唯一的零点】

III.若a小于-1, 则在(0,+∞)上有g’(x)>1, g单调增，

又有g(0)=1+a小于0, g(1)=e>0, ∴存在m∈(0,1), 使得g(m)=0, 【这是第一次取分点，后面还会连续用到，最后还有一个取分区间中再次一次分点，烧脑得不要不要的】

在(m,+∞)上, f(x)单调增, 且f(e^(-a))=ln(1+e^(-a))+axe^(-e^(-a))>-a+ae^(-e^(-a-e^(-a)))>0,【参考答案直接给：当x->+∞时，f(x)->+∞，但似乎极限有点超纲，所以老黄这里选择一个特殊值来证明，不过这个方法真的很难，后面还要再用一次】

此时f在(0,+∞)上有唯一零点. 【证明了右区间，接下来证明左区间成立】

在(-1,0), 记：h(x)=g’(x), 则h’(x)=e^x-2a大于0, g’(x)单调增, 【这其实用到三阶导数了】

g’(-1)=e^(-1)+2a小于0, g’(0)=1>0, ∴存在n∈(-1,0), 使g’(n)=0,【第二次用到分点】

在(n,0)上, g(x)单调增, 并且 g(x)<g(0)=1+a小于0,

在(-1,n)上, g(x)单调减, 并且 g(x)<g(-1)=e^(-1), 可知在t∈(-1,n), 使得 g(t)=0, 【这是在分区内再取一次分点】

在(t,0)上, f(x)单调减，且f(x)>0,

在(-1,t)上, f(x)单调增，且f(e^a-1)=a-a(e^a-1)e^(-e^a+1)=a(1+(1-e^a)e^(1-e^a))<0，【参考答案直接就说：当x->-1时, f(x)->-∞. 老黄找特殊值证明，就是挺麻烦的】

即f在(-1,0)上有唯一零点.

综上, a的取值范围为(-∞,-1).

这个老黄修改过的标准参考答案能看懂，已经是学霸了。下面老黄要分享独创的方法，能看懂的，是学霸中的学霸！(只写第二小题的解法)

另类解法：(2)记：g(a)=ln(1+x)+axe^(-x)，【把它看作关于a的一次函数】，

当g(a)=0时，a(x)=-e^xln(1+x)/x. 【把a化成关于x的函数】

a’(x)=e^x((1-x^2)ln(1+x)-x)/(x^2(1+x)),

记h(x)=(1-x^2)ln(1+x)-x，则h’(x)=-2xln(1+x)-x=-x(2ln(1+x)+1),【躲不过还是要用到二阶导数】

在(0,+∞)上, h’(x)<0, h单调减，∴h(x)<0, 从而a’(x)<0, a单调减, 【这说明在这个区间上，f(x)有唯一零点. 因为一个a对应一个x，使f(x)=0】

在(-1,0)上, 求得h(x)存在唯一的极大值点x=e^(-1/2)-1=b.【此处省略一百字，不是写不出来，而是实在没有什么必要，难道老黄算错了吗？记为b，是为了后面描述方便】

h(x)≤h(b)=e^(-1)/2-2e^(-1/2)+1=(e^(-1)-2)^2/2-1,

又h(b)>(1/3-2)^2/2-1=7/18>0, h(0)=0, ∴a(x)在[b,0)上单调增,

由x→-1^+时, a(x)→-∞, 知a(x)在(-1,b]上有极大值点c, 【因为h在(c,b)上仍大于0，而在(-1,c)上小于0，这是h的单调性决定的】

且当x→0时, a(x)→-1, ∴a(c)>-1, 【这其实是a的连续性决定的，这就决定了，在(c,0)的区间上有两个a值，对应同一个x，使f(x)=0，因此这个区间要排除】

∴a的取值范围为a小于-1. 【因为当a小于-1时，a(x)在两个区间上都单调，保证一个a在两个区间上都只有一个x与之对应，使f(x)=0都是唯一的】

老黄这个方法虽然也挺麻烦，但是感觉比参考答案还是要简便不少的。不过如果老黄在考场上也无法完成这种无法，完成了，我怕批卷的老师也看不懂。您觉得呢？