参考答案

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问：

参考例题

题目：

已知函数f(x)=lnx+1−xax,(a>0)

(1)当a=2时,求函数f(x)在x=1处的切线方程；

(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；

(3)求函数f(x)在区间[1,2]的最小值。

考点：

利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程

分析：

（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，从而求出切线方程即可；
（2）求导，将函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增化为导数恒不小于0，从而求a的取值范围；
（3）讨论函数f（x）在区间[1，2]上的单调性，从而确定函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

解答：

(1)a=2时,f(x)=lnx+1−x2x,(x>0),且f(1)=0，

又∵f(x)=2x−12x2,(x>0)，

∴f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=12，

故切线的斜率为y=12(x−1)，

即x−2y−1=0；

(2)由题意,f′(x)=1x−1ax2=ax−1ax2，

∵a为大于零的常数，

若使函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，

则使ax−1⩾0在区间[1,+∞)上恒成立，

即a−1⩾0，故a⩾1；

(3)①当a⩾1时,f(x)在区间[1,2]上单调递增，

则fmin(x)=f(1)=0；

②当0a⩽12时,f′(x)在区间[1,2]恒不大于0，

f(x)在区间[1,2]上单调递减，

则fmin(x)=f(2)=ln2−12a；

③当12a1时,令f′(x)=0可解得,x=1a∈(1,2)；

易知f(x)在区间[1,1a]单调递减,在[1a,2]上单调递增，

则fmin(x)=f(1a)=ln1a+1−1a；

综上所述，

①当a⩾1时,fmin(x)=0；

②当12a1时,fmin(x)=ln1a+1−1a；

③当0a⩽12时,fmin(x)=ln2−12a.