必刷小题5 导数及其应用一、单项选择题 1．函数f(x)＝(2x－1)ex的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 因为函数f(x)＝(2x－1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x－1)ex＝(2x＋1)ex， 令f′(x)>0，解得x>－， 所以函数f(x)的单调递增区间为. 2．(2023·茂名模拟)若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0，则有( ) A．a＝－1，b＝1 B．a＝1，b＝－1 C．a＝－2，b＝1 D．a＝2，b＝－1 答案 B 解析 将x＝1代入3x－y－2＝0得y＝1，则f(1)＝1， 则1＋a＋b＝1，① ∵f(x)＝x2＋ax＋b， ∴f′(x)＝2x＋a，则f′(1)＝3，即2＋a＝3，② 联立①②，解得a＝1，b＝－1. 3．已知x＝0是函数f(x)＝eax－ln(x＋a)的极值点，则a等于( ) A．1 B．2 C．e D．±1 答案 A 解析 因为f(x)＝eax－ln(x＋a)， 所以f′(x)＝aeax－. 又x＝0是f(x)的极值点， 所以a－＝0， 解得a＝±1，经检验知a＝－1不符合条件，故a＝1. 4．(2023·济南质检)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 答案 B 解析 函数f(x)＝x3－3x， 则f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3， 由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)， 得f′(c)＝1，即3c2－3＝1， 解得c＝±∈[－2,2]， 所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 5．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝xex－x2－2x－m在(0，＋∞)上有零点，则m的取值范围是( ) A．[1－ln22，＋∞) B．[－ln22－1，＋∞) C．[－ln22，＋∞) D. 答案 C 解析 由函数y＝f(x)在(0，＋∞)上存在零点可知，m＝xex－x2－2x(x>0)有解， 设h(x)＝xex－x2－2x(x>0)， 则h′(x)＝(x＋1)(ex－2)(x>0)， 当0<x<ln 2时，h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x>ln 2时，h′(x)>0，h(x)单调递增． 则x＝ln 2时，h(x)取得最小值，且h(ln 2)＝－ln22， 所以m的取值范围是[－ln22，＋∞)． 6．已知a，b∈R，则“lna>ln b”是“a＋sin b>b＋sin a”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由ln a>ln b，得a>b>0. 由a＋sin b>b＋sina， 得a－sin a>b－sinb. 记函数f(x)＝x－sinx(x∈R)， 则f′(x)＝1－cosx≥0， 所以函数f(x)在R上单调递增， 又a－sin a>b－sinb， 则f(a)>f(b)，所以a>b. 因此“ln a>ln b”是“a＋sinb>b＋sin a”的充分不必要条件． 7．(2023·宁波模拟)设m≠0 ，若x＝m为函数f(x)＝m·(x－m)2(x－n)的极小值点，则( ) A．m>n B．m<n C.<1 D.>1 答案 C 解析 f′(x)＝m[2(x－m)(x－n)＋(x－m)2]＝3m(x－m)， 若m<0，则f′(x)是开口向下的抛物线，若x＝m是极小值点， 必有m<，则n>m，即<1； 若m>0 ，f′(x)是开口向上的抛物线，若x＝m是极小值点， 必有m>，则n<m，即<1， 综上，<1. 8．已知f(x)＝(x＋3)，g(x)＝2ln x，若存在x1，x2，使得g(x2)＝f(x1)，则x2－x1的最小值为( ) A．6－8ln 2 B．7－8ln 2 C．2ln 2 D．4ln 2 答案 B 解析 设g(x2)＝f(x1)＝m，则x1＝2m－3，x2＝ 设h(x)＝ 令h′(x)>0，得x>4ln 2；令h′(x)<0，得x<4ln 2， 所以h(x)在(－∞，4ln 2)上单调递减，在(4ln 2，＋∞)上单调递增，h(x)min＝7－8ln 2， 所以当x＝4ln 2时，x2－x1取最小值，为7－8ln 2. 二、多项选择题 9．下列函数中，存在极值点的是( ) A．y＝x＋ B．y＝2x2－x＋1 C．y＝xln x D．y＝－2x3－x 答案 ABC 解析 由题意，对于A，函数y＝x＋，y′＝1－，可得函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点x＝－1和x＝1； 对于B，函数y＝2x2－x＋1为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标x＝； 对于C，函数y＝xln x，y′＝ln x＋1，当x∈时，y′<0，函数单调递减，当x∈时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝xln x在x＝处取得极小值； 对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点． 10．已知函数f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，则下列说法正确的是( ) A．函数f(x)的最小值为3 B．函数f(x)的最大值为3＋ C．函数f(x)的最小值为e＋1 D．函数f(x)的最大值为e＋1 答案 AD 解析 ∵f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]， ∴f′(x)＝－e2－x＋1， 令f′(x)>0，解得x>2；令f′(x)<0，解得x<2， 故函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增， 所以函数f(x)在x＝2处取得极小值，也是最小值，为f(2)＝3， 而f(1)＝e＋1，f(3)＝3＋，则f(1)>f(3)， 故f(x)的最大值为f(1)＝e＋1. 11.函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图，且f(x)在x＝x0与x＝1处取得极值，给出下列判断，其中正确的是( )
A．c<0 B．a<0 C．f(1)＋f(－1)>0 D．函数y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减 答案 AC 解析 f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)， 由图知x>1时，f(x)单调递增，可知f′(x)>0，所以a>0，故B错误； 又f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)＝3ax2－3a(1＋x0)x＋3ax0， ∴2b＝3a(1＋x0)，c＝3ax0，∵x0<－1<0∴c＝3ax0<0,故A正确； ∵x0<－1<0，∴1＋x0<0，∴f(1)＋f(－1)＝－2b＝－3a(1＋x0)>0，故C正确； f′(x)＝3ax2－2bx＋c，其图象开口向上，对称轴小于0，函数f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D错误． 12．(2022·南通模拟)定义：在区间I上，若函数y＝f(x)是减函数，且y＝xf(x)是增函数，则称y＝f(x)在区间I上是“弱减函数”．根据定义，下列结论正确的是( ) A．f(x)＝在(0，＋∞)上是“弱减函数” B．f(x)＝在(1,2)上是“弱减函数” C．若f(x)＝在(m，＋∞)上是“弱减函数”，则m≥e D．若f(x)＝cos x＋kx2在上是“弱减函数”，则≤k≤ 答案 BCD 解析 对于A，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝xf(x)＝1不单调，故A错误； 对于B，f(x)＝，f′(x)＝，在(1,2)上f′(x)<0，函数f(x)单调递减， y＝xf(x)＝，y′＝＝>0在x∈(1,2)上恒成立， ∴y＝xf(x)在(1,2)上单调递增，故B正确； 对于C，若f(x)＝在(m，＋∞)上单调递减， 由f′(x)＝＝0，得x＝e， ∴m≥e，y＝xf(x)＝lnx在(m，＋∞)上单调递增，故C正确； 对于D，f(x)＝cosx＋kx2在上单调递减， f′(x)＝－sin x＋2kx≤0在x∈上恒成立⇒2k≤min， 令h(x)＝，h′(x)＝，令φ(x)＝xcos x－sinx， φ′(x)＝cosx－xsin x－cosx＝－xsin x<0，x∈， ∴φ(x)在上单调递减，φ(x)<φ(0)＝0， ∴h′(x)<0，∴h(x)在上单调递减，h(x)>h＝， ∴2k≤⇒k≤， 令g(x)＝xf(x)＝xcos x＋kx3，则g(x)在上单调递增， g′(x)＝cosx－xsin x＋3kx2≥0在x∈上恒成立， ∴3k≥max， 令F(x)＝，F′(x)＝>0，x∈， ∴F(x)在上单调递增，F(x)<F＝， ∴3k≥⇒k≥， 综上，≤k≤，故D正确． 三、填空题 13．(2023·十堰模拟)曲线y＝ln x＋x2在x＝1处的切线方程为________． 答案 3x－y－2＝0 解析 因为y′＝＋2x，当x＝1时，y＝1，切线斜率k＝y′|x＝1＝3， 所以曲线y＝ln x＋x2在x＝1处的切线方程为3x－y－2＝0. 14．函数f(x)＝－3x－|ln x|＋3的最大值为________． 答案 2－ln 3 解析 由题知当x≥1时，f(x)＝－3x－lnx＋3， ∴f′(x)＝－3－<0，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴f(x)max＝f(1)＝0； 当0<x<1时，f(x)＝－3x＋lnx＋3，∴f′(x)＝－3＋＝， ∴当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0， ∴f(x)max＝f ＝2－ln 3， 综上可知，f(x)max＝2－ln 3. 15．(2023·南京模拟)写出一个同时具有下列三条性质的三次函数f(x)＝________. ①f(x)为奇函数；②f(x)存在3个不同的零点；③f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 答案 x3－3x(答案不唯一) 解析 f(x)＝x3－3x，f(x)为奇函数，f(x)有三个零点0，±， f′(x)＝3x2－3，当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ①②③都满足，∴f(x)＝x3－3x满足题意． 16．(2022·郑州质检)已知过点P(a,1)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则实数a的取值范围是________． 答案 (0，e) 解析 设曲线y＝lnx与其切线交于A(x0，y0)， 切线方程l：y＝kx＋b，y′＝， 由导数与切线方程斜率关系可得k＝y′| 又∵切线过点P(a,1)， ∵要保证过点P(a,1)可以作曲线y＝ln x的两条切线，可得P(a,1)不能在曲线y＝ln x上， ∴x0≠a， ∴k＝，② ∵点A在曲线y＝ln x上，故y0＝ln x0，③ 由①②③式可得＝⇒＝， ∴x0(ln x0－1)＝x0－a，解得a＝2x0－x0·ln x0， 令f(x)＝2x－x·ln x， 则f′(x)＝2－x·－lnx＝1－lnx， 令f′(x)＝0，故1－ln x＝0， ∴x＝e， 当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 即f(x)在x＝e处取得最大值，故f(x)max＝f(e)＝2e－e·ln e＝e， 作出f(x)的草图如图所示，
由图可知a仅在(0，e)范围内有2个对应的x值， 即a∈(0，e)时，有2个解，此时存在2条切线方程， 综上所述，a的取值范围为(0，e)． |
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