李文东——解题研究：利用同构求解圆锥曲线综合问题

【摘要】 文章探讨了同构思想在圆锥曲线中过曲线上一定点的两直线的斜率问题、过曲线外一定点的两切线问题和参数问题中的应用.

【关键词】 同构;切线;定点;定值

数学中的同构式是指除了变量不同,而结构相同的两个表达式.数学中的同构式,它不仅体现了数学的对称和谐美,而且运用同构式的思想解题能够培养学生的抽象,转化化归的思维能力.例如求数列的通项公式的关键就是将递推公式变形为“依序同构”的特征,即关于(an,n)与(an-1,n−1)的同构式,从而将同构式设为辅助数列便于求解.在解析几何中,经常碰到结构相同的问题,此时我们如果采用同构的思想来处理,会给我们的解题带来很大的方便,下面举例说明.

一、过曲线上一定点的两直线的斜率同构

图1

代入曲线C 的方程可得关于k1 的一元二次方程同理可知k2 也满足该方程,即k1,k2 是方程aK2+bK+c=0 的两根,利用这个方程可以方便的处理与直线PA,PB 的斜率之和或之积问题.

二、过曲线外一定点的两切线同构

1 过曲线外一定点的两切线的斜率同构

过曲线C 外一定点P(x0,y0)作曲线C 的切线PA,PB,切点分别为A,B,设直线PA,PB 的方程分别为:y−y0=k1(x−x0)和y−y0=k2(x−x0),联立y−y0=k1(x−x0)与曲线C 的方程,根据相切得Δ=0或d=r(曲线为圆时)得到关于k1 的一元二次方程同理可知k2 也满足该方程,即k1,k2是方程aK2+bK+c=0 的两根.

例3 如图 2,已知M(x0,y0)是椭圆 上的任一点,从原点O 向圆M:(x−x0)2+(y−y0)2=2 作两条切线,分别交椭圆于点P、Q.若直线OP,OQ 的斜率存在,并记为k1,k2,求证:k1·k2 为定值.

图2

2 过一定点的两切线的切点方程同构

三、参数同构

*本文是中山市教育科研2020年度专门项目-落实高考评价体系“引导教学”核心功能的数学学科实践研究(项目编号:Z2020014)的阶段性成果.

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