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日本的数学家们比较重视现代数学知识的整理和传播，他们编写了大量的介绍现代数学基础知识的专业书籍。2019年笔者在日本旅游期间，着重考察了在东京的几家大型书店里正在销售的数学专业类新书的情况。秋日的东京，气温宜人，大街上的人们行色匆匆，城市生活的一切都显得井井有条。各大书店里人气旺盛，密集的书架上陈列着文理科各个学科数量极其丰富、印刷精良的高质量新书，让人眼花缭乱、目不暇接。 东京的这几家大型书店的面积同我们国内大城市里的大型书店差不多大，但是所销售的图书种类远比国内大型书店的图书种类要多得多，其中的一个原因是，所有的新书基本上在店堂内的书架上只放一本，只有个别比较热门的书再多放一本，这样在有限的书架空间里就能够放置相当多的书。当一本新书被读者买走后，工作人员会立即从库房中调取与被读者买走的书相同的图书，及时地补充入店堂内的书架上。日本书店里数学新书多的另一个原因是，他们所销售的数学专业类新书中大约有一半都是往年出版的好书，这些书因为读者反响好而不断地进行重印，使得年轻一代的数学读者也能够买到二、三十年前出版过的新书。 由于现代数学十分抽象复杂、难以理解和分支众多这一特点，在国外的出版界，一般来说数学专业书籍的数量要远远超过其他理科（如物理、化学、生物等）专业书的数量，这在日本尤其如此。笔者这次在东京的这几家大书店里所看到的数学专业读物的数量，粗略估计达到了千种以上，而且由于日本有严格的著作权法，不同的出版物互相之间不能有相似或重复之处，这样便呈现了一种风格各异、百花齐放的局面。有时候，虽然对于同样一门课程可以有三、四本不同的讲义出版，但是每本书都尽量从各个不同的角度（例如从数学的应用或数学历史发展的角度），来努力阐释在艰深的数学理论背后所包含的丰富的思想内涵，这对初学者学习和理解现代数学知识来说，自然是极其有利的。 本文记录下了笔者在东京的几家大型书店里所看到的分析学方面的大部分专业新书，并且对其中少量的图书作了一些十分简单的介绍。 一、分析基础方面的新书分析基础方面的数学理论比较经典，它们大多在19世纪和20世纪初就已经形成，其中就包括了数学分析（高等微积分）、实变函数论、经典的调和分析、变分法等理论。 在20世纪里，分析学基础领域中形成的比较成熟的分支学科（或方向）有：凸分析、有界变差函数、微分学、算子演算、测度论、积分理论、不变测度、分形、级数与渐近级数、多项式逼近、正交函数系、傅里叶级数与傅里叶变换、小波、调和分析、殆周期函数、Laplace变换、积分变换、位势论、调和函数、狄利克雷问题、变分法、Plateau问题。 1． 《分析入门I、II》 作者是日本的数学大师小平邦彦，由岩波书店在1991年出版，514页，该书有人民邮电出版社的中译本（书名改为《微积分入门》）。这本书从一个数学大师的视角，平易地讲授了微积分和数学分析课程中最基本的内容。 2． 《分析入门I》、《分析入门II》 作者是衫浦光夫。
图1：这里从左至右的数学新书是：《变分问题》、衫浦光夫写的《分析入门II》、《线性代数演习（习题集）》、《微分流形基础》、《分析演习（习题集）》、《复分析》、《微分几何入门（上）》、《数学物理入门》、《偏微分方程入门》 3． 《现代分析入门》 作者是藤田宏、吉田耕作。 4． 《近代分析》 作者是日本著名数学家吉田耕作，他也写了一本名作《泛函分析基础》。 5． 《分析概论》 作者是日本的数学大师高木贞治，该书由岩波书店出版，有人民邮电出版社的中译本（书名改为《数学分析概论》）。这本名著除了讲解通常数学分析课程的基本内容外，还贯穿讲了一部分复变函数论与实变函数论的基础知识，突显了数学大师高屋建瓴般的分析学整体观点。
图2：这里从左至右的数学新书是：《两个人的微积分》、高木贞治写的《分析概论》（两本）、《若尔当标准形与张量代数》、《二次型》（两本）、藤田宏、吉田耕作写的《现代分析入门》 6． 《分析学入门》 作者是龟谷俊司。 7． 《分析演习（习题集）》 作者是衫浦光夫等人。 8． 《数系——分析的基础》 该书是一本分析学名作，译自E. Landau的《Foundations of Analysis》。 9． 《数字引论（集合与实数）》 作者是柴田敏男。 10． 《现代分析学》 该书也是一本分析学的名作，它译自W. Rudin的《Principles of Mathematical Analysis》,这部名作有机械工业出版社的英文影印版和中译本。 11． 《微分积分》 作者是黑田成俊。 12． 《微分积分》 作者是和边三树。 13． 《积分论》 作者是河田敬义。 14． 《用例题形式探求微积分的基本定理》 作者是森田茂之。这本书从几何构造的角度，通过运用大量的例题，重点讲解了多元微积分中最基本的内容，特别是经典的Stokes定理。该书的内容包括了向量场、线积分、面积分、Stokes定理及其扩展等。 15． 《积分与函数分析》 作者是丸山。 16． 《函数分析》 作者是竹之内修。 17． 《函数分析入门》 作者是高村多贺子。 18． 《无穷级数入门》 作者是楠幸男。 19． 《正交函数系》 作者是伏见康治。 20． 《实变函数论》 作者是近藤基吉。 21． 《勒贝格积分（第2版）》 作者是小松勇作。 22． 《勒贝格积分入门》 作者是伊藤清三。 23． 《向量分析》 作者是岩堀长庆。 24． 《向量分析》 作者是户田盛和。 25． 《不等式》 该书是一本名作，译自G. H. Hardy、J. E. Littlewood、G. Pólya的《Inequalities》，有人民邮电出版社的中译本。 26. 《函数方程概论》 作者是桑垣焕。 27. 《超几何函数》 作者是吉田正章。 28. 《超几何函数论》 作者是青本和彦。 29. 《椭圆函数论》 该书也是一本名作，译自A. Weil的《Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker》，有世界图书出版公司的英文影印版。 30. 《特殊函数》 作者是小松勇。 31. 《现代三角函数论》 作者是著名的数论学家黑川信重，他写了好几本关于黎曼猜想的书。 32. 《傅里叶分析》 作者是大石进一。 33. 《傅里叶分析：基础与应用》 作者是松下誊雄。 34. 《适用工程学的傅里叶分析》 作者是山下等人。 35. 《经典调和分析》 该书是“分析学百科”系列丛书中的第一卷，它完整地总结了经典调和分析这个分析学基础分支中的主要理论和成果。 36. 《变分法与调和映射》 调和映射是黎曼几何学的基本概念，它是测地线、调和函数的一般性推广，调和映射的基本思想直接来源于经典的变分法。 37. 《变分学》 作者是小松勇。 38. 《变分问题》 作者是立川笃。 39.《应用分析初步》 作者是藤田宏、斋藤宣一，该书面向低年级本科生，它是岩波书店出版社“岩波数学”丛书中最近新出的一本书。该书用十分通俗的语言，清晰地介绍了分析学是怎样解决实际问题的，微积分的方法又是如何进一步扩展的。这本书的具体内容包括了增殖函数、震动模型、竞争模型、行星运动模型、弦振动方程、热传导方程、富里叶变换、变分法、广义函数等最基本的应用分析方法。特别是最后一章“广义函数”写得很富有启发性，让抽象难懂的广义函数变得十分自然和浅显易懂。
图3：藤田宏、斋藤宣一写的《应用分析初步》 二、泛函分析方面的新书泛函分析的起源可以追溯到沃尔泰拉（Volterra）在1887年的重要工作，那时他就提出了算子这个基本概念。算子将函数变成函数，如果算子的值域是数域，那么算子就成为了泛函。沃尔泰拉（Volterra）与弗雷德霍姆（Fredholm）在研究积分方程求解问题的过程中，提炼出了泛函分析的基本思想。然后在此基础上，希尔伯特（Hilbert）研究了希尔伯特空间上的连续算子，他的一个重要发现是连续谱。 在1929年，冯·诺伊曼（von Neumann）证明了一个十分重要的定理：希尔伯特空间中的闭线性算子T有实谱分解的充要条件是是自共轭算子，这个结果为量子力学奠定了必要的数学基础。 接着在1932年，数学家巴拿赫（Banach）引进了比希尔伯特空间范围更广的巴拿赫空间的概念，他证明了一系列关于巴拿赫空间中闭线性算子的基本定理，其中包括开映射定理、闭图象定理和一致有界定理等，这些定理以后又被布尔巴基学派推广到了局部凸拓扑线性空间中。 巴拿赫代数在1936年被引进，盖尔范德（Gel’fand）在这方面的基础工作，使得巴拿赫代数后来成为在研究局部紧群的线性表示理论时的重要工具。 同样在1936年，索伯列夫（Sobolev）通过巧妙运用微积分中的分部积分公式，给出了函数概念和导数概念的一种推广，这个推广在1945年被施瓦兹（L. Schwartz）进一步发展成了广义函数的理论。广义函数是定义在函数空间上的连续线性泛函，它给出了物理学家狄拉克（Dirac）的 -函数的一个合理的解释。 目前在泛函分析领域中比较成熟的分支学科（或方向）有：希尔伯特空间、巴拿赫空间、有序线性空间、拓扑线性空间、函数空间、广义函数、向量值积分、线性算子、紧算子与核型算子、插值空间、算子的谱分析、算子不等式、线性算子的摄动、算子半群和发展方程、巴拿赫代数、代数、函数代数、冯·诺伊曼代数、非线性泛函分析。 40. 《泛函分析基础》 作者是吉田耕作，吉田耕作的拉丁名字是Kôsaku Yosida，该书的英文版就是有名的泛函分析名作《Functional Analysis》，有世界图书出版公司的英文影印版和高等教育出版社的中译本。 41． 《泛函分析》 作者是加藤敏夫。 42． 《希尔伯特空间论》 作者是吉田耕作。
图4：这里从左至右的数学新书是：《可积分系的世界》、《微分拓扑学》、《微分几何学与规范场论》、《量子统计力学》、《黎曼几何学入门》、《广义函数论》、《相对论（第2版）》、《理想论入门》、《拓扑空间论》、《赋范代数》、《希尔伯特空间论》、《数学序论》、《数值分析基础》、《射影几何学》、《遍历理论入门》 43． 《算子代数入门I：泛函分析与von Neumann代数入门》 作者是生西明夫等人。 44． 《算子代数入门II：C*代数与K理论》 作者是生西明夫等人。 45． 《算子代数入门》 作者是大矢雅则等人。 46． 《赋范代数》 作者是和田淳藏。 47． 《解析函数组成的希尔伯特空间》 作者是中路贵彦。 48． 《拓扑空间论》 作者是河野伊三郎。 49． 《广义函数论》 该书是一本分析学名作，译自L. Schwartz的《Théorie des Distributions》，有高等教育出版社的中译本。 50． 《广义函数论》 作者是吉田耕作。 51． 《广义函数、FBI变换和无穷阶拟微分算子》 作者是青木贵史等人。 52． 《佐藤广义函数入门》 作者是森本光生。 53． 《半群论》 作者是田村孝行。 54． 《奇异积分》 作者是数田公三。 55． 《Orlicz空间及其应用》 作者是北广男。 56． 《代数分析概论》 作者是日本著名数学家柏原正树。 57． 《遍历理论入门》 作者是十时东生。 58． 《遍历理论与分形》 作者是高桥智等人。 三、复分析方面的新书复分析领域的主要研究对象是全纯函数（或解析函数），这个领域可以分成一元的复变函数论与多元的多复变函数论这两大部分。 数学家们在19世纪就已经建立了复变函数论的初步理论，其中就包括了黎曼面（或黎曼曲面）理论和椭圆函数理论，这些理论对后世的影响很大。在20世纪，值分布理论、拟共形映射、Teichmüller空间等重要理论的研究取得了很大的进展。 在20世纪初，人们开始研究多复变函数论。由于多复变函数非常复杂，所以就用到了微分几何、代数几何、拓扑学、微分方程等领域中的许多理论与方法。例如对于全纯域的问题，由H. 嘉当（H. Cartan）和塞尔（Serre）等人通过运用了层的上同调方法而得到解决，这个重要工作还被进一步推广到了解析空间和代数几何中。 目前在复分析领域中比较成熟的分支学科（或方向）有：全纯函数（或解析函数）、幂级数、全纯函数族、全纯函数最大值原理、解析函数边界性质、单叶函数、值分布理论、复逼近论、黎曼面、黎曼面上的分析、复动力系统、共形映射、拟共形映射、Teichmüller空间、Klein群、多变量解析函数、解析空间、 方程、全纯映射、多重下调和函数、CR-流形、核函数、Siegel区域、周期积分。 59． 《复分析》 作者是小平邦彦，有人民邮电出版社的英文影印版。 60． 《复分析》 作者是高桥礼司。 61． 《复分析入门》 作者是小堀宪。 62. 《复分析概论》 作者是野口润次郎。 63. 《复变函数入门》 作者是神保道夫。 64. 《解析函数》 作者是田村二郎。 65. 《多元解析函数》 作者是野口润次郎。
图5：这里从左至右的数学新书是：《基础分析学》、《分析学概论》、《连续体》、《多元解析函数》、《经典调和分析》、《可积分系的数学原理》、《实分析学习指导》、《现代分析基础》、《现代分析的基础演习（习题集）》、《初等分析入门》、《多元初等分析入门》、《辛钦数学分析8讲》、《应用分析》、《应用分析学基础》、《分析演习（习题集）》、《应用分析概要》、《应用分析》、《应用分析基础》 66. 《Stein空间理论》 该书是一部多复变函数论的名作，译自H. Grauert和R. Remmert的《Theory of Stein Spaces》。 67. 《多元复分析》 作者是大尺健夫。 68. 《拟共形映射讲义》 该书是一部复变函数论的名作，译自L. V. Ahlfors的《Lectures on Quasiconformal Mappings》，有高等教育出版社的英文影印版。 69. 《多元Nevanlinna理论》 作者是野口润次郎。 70. 《解析空间入门》 作者是广中平佑等人，广中平佑是日本著名的代数几何学家。
图6：这里从左至右的数学新书是：《数值泛函分析基础》、《泛函分析》、《多重三角函数论讲义》、《理解三角函数与复数》、《三角函数、指数函数、对数函数》、《黎曼面上的Hardy（哈代）族》、《分形曲线的分析学》、《量子群》、《解析空间入门》、《复变函数论》、《复变函数论讲义》、《应用分析概论》、《复变函数论要领》、《复变函数入门》、《复变函数论》、《复变函数基础》、《要点讨论工程学基础复变函数论》、《理工系复变函数论》、《复变函数概说》、《复变函数论基础》（两本）、《适用于初学者的复变函数》 四、微分方程方面的新书微分方程领域主要研究常微分方程和偏微分方程。 20世纪的常微分方程理论的研究主要有三个方面：解析理论（例如用常微分方程来描写自守函数），定性理论（后来发展成为动力系统理论）、各种常微分方程应用的研究。 偏微分方程理论在现代数学中具有很重要的作用，它是联系一些数学分支学科和自然科学各个学科之间的一个桥梁。在20世纪30年代前，偏微分方程主要研究部分数学物理方程经典解的求法。从30年代起，各种泛函分析的方法被用于偏微分方程的研究，人们致力于寻求偏微分方程的广义解。到了60年代，数学家们又将微分算子发展成了拟微分算子，后来进一步发展成微局部分析方法。 在线性偏微分方程理论发展的同时，对各种非线性偏微分方程的研究也获得了许多进展，为此人们不断发展出各种各样的方法来解决大量复杂的非线性问题。 目前在微分方程领域中比较成熟的分支学科（或方向）有：常微分方程的初值问题和边值问题、线性常微分方程、线性常微分方程的局部理论、线性常微分方程的整体理论、非线性常微分方程的局部理论、非线性常微分方程的整体理论、Painlevé方程、非线性振动、非线性问题、常微分方程解的稳定性、积分不变量、差分方程、泛函微分方程、全微分方程、偏微分方程及其解法、亚椭圆性与可解性、偏微分方程的初值问题、复数域中的偏微分方程、一阶偏微分方程、Monge-Ampère方程、椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程、混合型偏微分方程、偏微分方程理论中的不等式、Green函数与Green算子、积分方程、积分微分方程、特殊微分方程、微局部分析与拟微分算子。 71． 《微分方程入门》 作者是久保田富雄。 72． 《微分方程入门》 作者是高桥阳一郎。 73. 《微分方程及其应用（上）》、《微分方程及其应用（下）》 该书是一部微分方程的名作，它译自M. Braun的《Differential Equations and Their Applications》，有高等（人民）教育出版社的中译本。 74. 《常微分方程》 作者是坂井秀隆。 75． 《常微分方程》 作者是齐藤利弥。 76． 《Painlevé方程》 作者是冈本和夫。 77． 《偏微分方程》 该书是一部偏微分方程的名作，译自F. John的《Partial Differential Equations》（第4版），它的内容包括了一阶偏微分方程、二阶双曲型方程、特征流形与柯西问题、拉普拉斯方程、高阶双曲型方程、常系数高阶椭圆型方程、抛物型方程等基本内容。这本名作有科学出版社的中译本。 78． 《偏微分方程》 作者是南云道夫。 79． 《偏微分方程入门》 作者是井川。 80． 《偏微分方程入门》 作者是金子晃。 81. 《数学物理方法（上）》、《数学物理方法（下）》 这两本书译自R. Courant（柯朗）、D. Hilbert(希尔伯特)的两卷名著《Methods of Mathematical Physics》，它们都有科学出版社的中译本。 82. 《边值问题入门》 作者是草野尚。 83. 《边值问题与矩阵分析》 作者是山本哲朗。 84. 《椭圆型方程与近平衡动力系统（上）》、《椭圆型方程与近平衡动力系统（下）》 作者是铃木贵。 85. 《线性双曲型偏微分方程》 作者是西谷达雄。 86. 《抛物型发展方程及其应用（上）》、《抛物型发展方程及其应用（下）》 作者是八木厚志。 87. 《Navier-Stokes方程的数学基础》 Navier-Stokes方程是一类在流体力学中出现的很重要的非线性偏微分方程。 88． 《适用于工科的偏微分方程》 作者是岩手弘一。 89． 《偏微分方程解的几何学》 作者是坂口茂。这本内容丰富的新书从几何学的角度研究了偏微分方程解的性质（解的存在性、唯一性、稳定性、光滑性和渐近性质），其内容包括了反应扩散方程、热传导方程与调和方程、Varadhan定理、音波方程、Aleksandrov定理、复合媒质上的导电场方程与热扩散方程等。 90． 《复杂区域上的Dirichlet问题》 作者是相川弘明。 91． 《非线性偏微分方程》 作者是仪我美一。 92． 《非线性发展方程的实分析方法》 作者是小川卓克。 93． 《非线性现象的数学》 作者是山口昌哉。 94． 《差分微分方程》 作者是衫山昌平。 95． 《随机微分方程》 该书也是一部微分方程的名作，译自B. Øksendal的同名著作。 96． 《孤立子理论与Hamilton形式（上）》、《孤立子理论与Hamilton形式（下）》 孤立子是非线性波动方程（例如著名的KdV方程）的一类脉冲状的行波解。孤立子理论的发展，对于偏微分方程和物理学的研究都具有重要意义。 97． 《可积分系的世界》 作者是户田格子等人。可积分系是指一大类具有良好性质的非线性偏微分方程，例如KdV方程就属于可积分系。。 98. 《可积分系的数学原理》 该书是“分析学百科”系列丛书中的第二卷，它完整地总结了可积分系的主要理论和成果。 99． 《反问题》 作者是堤正义。 100． 《积分方程——从反问题的视角》 作者是上树丰。
图7：这里从左至右的数学新书是：《常微分方程与罗特加·沃态拉方程》、《常微分方程与微分代数方程的数值解法》、《常微分方程学习指导》、《常微分方程》、《常微分方程》、《面积中心的代数几何学》、《微分方程入门》、《微分方程的邀请》、《微分方程》、《微分方程》、《通过自然（科学）现象来学习微分方程》、《简单易学的微分方程》、《马上就能懂的微分方程》、《微分方程》、《微分方程概论》、《微分方程教程》、《微分方程基础》、《偏微分方程讲义》、《要点讨论工程学基础微分方程（第2版）》、《应用微分方程》、《微分方程与数学模型》、《这就是微分方程》 文稿|陈跃 编辑|朱善军 |
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