奥数-行程问题-环形跑道专题（含知识梳理与习题详细解析）

奥数-行程问题-环形跑道专题（含知识梳理与习题详细解析）

1、掌握如下两个关系:

(1)环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次

(2)环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次

2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析

3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题

知识精讲

本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一，是多人(一般至少两人)多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追及问题的关健是着我们是否能够准确的对题目中所猫述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。

一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用:

路程和＝相遇时间×速度和

路银差＝追及时间×速度差

二、解坏形跑道问题的一般方法:

解决环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次:如果是同向而行。则每追上一圈相遇一次，这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

                                           环线型

          同一出发点 直径两端

                               同向:路程差     ns    nS+0.5S

                 对(反向): 标对(反向):路程和      ns    nS-0.5S

模块一、常规的环形跑道问题

【例 1】 一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行，黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米，经过几分钟才能相遇?

【解析】黄莺和麻雀每分钟共行66＋59＝125(千米)，那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500＋(66＋59)＝500÷125＝4(分钟)。

【答案】4分钟

【例2】上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少来?(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈?

【解析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300÷(6－4)＝150 秒，小亚跑了6×150＝900(米)。小胖跑了4×150＝600(米):第一次追上时，小胖跑了2圆，小亚跑了3图，所以第二次追上时小胖跑4圈，小亚跑6圈。

【答案】小胖跑4圈，小亚跑6圈

【例 3】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑 250米，乙每分钟跑 200米，两人同时同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相送?

解析，在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题，同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长，这道题的解题关键就是先求出环形道一周的

长度，环形道一周的长度可根据两人同向出发，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为:250－200＝50(米/分)，所以路程差为:50×45＝2250(米)，即环形道一圈的长度为2250米，所以反向出发的相遇时间为:2250÷(250＋200)＝5(分钟).

【答案】5分钟

【巩固】如图1，有一条长方形跑道，甲从A点出发，乙从C点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米，当甲第一次追上乙时，甲跑了多少圈

【解析】(10＋6)÷(5－4.5)-＝32秒，甲跑了3.5×32÷32＝5

【答案】5圈

【例4》在300米的环形跑道上，田寄和王强同学同时同地起跑 如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少?

【解析】同向而跑，这实质是快追慢。起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大。接着，两人的距离又逐渐端小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈，背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为:路程和÷速度和＝相遇时间，同向而行

2分30秒相遇，2分30秒＝150 秒，两个人的速度和为:300÷150＝2(米/秒)，背向而跑则半分钟即 30 秒相遇，所以两个人的速度差为:300÷30＝10(米/秒)两人的速度分别为:(10－2)÷2＝4(米/秒)，10－4＝6(米/秒)

【答案】6米(秒

【例6】 甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6分，甲第一次超过乙，22分时甲第二次超过乙，假设两人的速度保持不变，问:出发时甲在乙后面多少米?

【解折】150 米。提示:甲超过已一圈(400米)需22－6＝16(分)。

【答案】16 分

【例7】在400米的环行跑道上，A，B两点相距100 米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟，那么甲追上乙需要时间是多少秒?

【解析】甲实际跑100/(5－4)＝100(秒)时追上乙，甲跑100/5＝20(秒)休息10秒:乙地100/4＝25(秒)。休息10 秒，甲实际跑100秒时，已经休息4次，刚跑完第5次，共用140秒;这时乙实际跑了 100 秒，第 4次休息结束，正好追上。

【答案】140秒

【例8】在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟?

【解折】由题意可知，两人的速度和为1/4，速度差为。1/12，可得两人连度分用为

［1/4＋1/12］÷2＝1/6和［1/4－1/12］÷2＝1/12，所以两人跑一,圈分别需要6分钟

和12分钟。

【答案】6分钟和12 分钟

【例10】甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?

【解析】甲行走45 分钟。再行走70－45＝25分钟即可走完一圈，而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈，所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45 分钟的路程。甲行走一圆需 70 分钟，所以。乙需70÷25×45＝126 分钟。即乙走一圈的时间是126 分钟。

【答案】126 分钟

【例14】两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米，甲、乙两车同时分别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点。此时甲车立即返回(乙车过B点继续行驶)，再过多少分与乙车相遇?

【解析】在上图中C表示甲、乙第一次相遇地点。因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到A，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点180－90＝90(米)，甲从A到C用了180÷20＝9(分)，所以乙每分行股 90÷9＝10(米)，甲、子第二次相适，即分别同时从A，B出发相向而行相遇需要 90÷(20＋10)＝3(分)。

【答案】3分

【巩固】周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B两点。甲、乙两人分别从A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B。如果以后甲，乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米?

【解祈】如上图，记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程:而当甲跑了400米时。乙跑了2BC 的路程，由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A点所需时间的1/2，即AC＝1/2×400＝200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是已速度的2倍。那么甲到达A，乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑400－100＝300米的路程，所以此后甲还需跑 300÷(2－1)×2＝600米，加上开始跑的1圈 400米，所以甲从出发到甲诞上乙时共跑了 600＋400＝1000 米.

【答家】1000米

【例15】如下图所示的三条圆形跑道，每条跑道的长都是0.5千米，4、B、C三位运动员同时从交点O出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时 6千米。问:从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米?

【解析】三个运动员走定一圈的时间分别为1/8小时、1/16小时、1/12小时，他们三人相通地点只能是O点。所以三人相遇时间是1/8小时、1/16、1/12小时的公倍数，即1/4小时，分别跑了2图。4国、3 圈。共计:4.5 千米。

【答案】4.5 千米

【例16】甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶。甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米，一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头;一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米?

【解析】首先是一个相遇过程，相遇时间:6÷(65＋55)＝0.05小时，相遇地点距离A点:

55×0.05＝2.75千米。然后乙车调头，成为追及过程，追及时间:6÷(65－55)＝0.6小时，乙车在此过程中走的路程:55×0.6＝33千米，即5图余3千米，那么这时距离A点3－2.75＝0.25千米，甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25＋2.75＝3千米，而第4次相遇时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与开始相同。所以，第8次相遇时两车肯定还是相遇在A点，又11÷3＝3…2，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是机同的，距离A点是3000米

【答案】3000米

【巩固】如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米，甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?

【解析】开始时，甲在顺时针方向距乙8＋13＋8＝29米，因为一边最长为13，所以最少要班至只相差13、即至少要追上 29－13＝16 米。

甲追上乙16 米所需时间为16÷(3－2)＝16秒，此时甲行了3×16＝48米，乙行了2×16＝32米甲、乙的位置如右图所示:显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比己快，所以甲能在乙离开上面的那条边之前到达上面的边。从而看见乙，而甲要到达上面的边，要再跑2来，所需时间为

2+÷3＝2/3秒，所以经过 16＋2/3＝16⅔秒后甲第一次看见己

【答案】16号秒

【例28】下图是一个玩其火车轨道。A点有个变轨开关，可以连接B或者C.小圈轨道的周长是1.5来，大圈轨道的周长是3米，开始时A连楼C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟交换一次轨道连接，若火车的速度是每分钟10 米，则火车第10次回到A点时用了__秒钟。

【解析】126 秒,根据题意，AC 段连在一起为第0分钟、2 分钟、4 分钟、6 分钟...

AB 段连在一起为第1分钟、3 分钟、5 分钟、7 分钟...

第1分钟，AC连在一起。火车走了10米，走了3.圈，还多1米:

此时AB段连在一起，也就是说当火车第4次回到A点时，走了4个3米，共12米:

火车两分钟可以走20米，所以在第二分钟又重新连回AB前，火车沿着小圈走了8米，而8＝5×1.5＋0.5，也就是说火车第9次回到A点还多走了0.5 米，当火车第 10次回到A点时，火车共走了12米，加上6个小圈，共21米。火车速度为10米/分，所以火车回到A点用了 21÷10＝2.1分钟，合计 126 秒。

【答案】126 秒

模块三、环形跑道--变速问题

【例33】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后，甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少 2米/秒，结果都用 24秒同时回到原地。求甲原来的速度。

【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与乙(V＋2)跑了 24 秒的路程之和等于 400米，24V＋24(v＋2)＝400 易得V＝7⅓米/秒

【答案】7⅓米/秒

【例34】环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑120米，乙每分跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多少分?

【解新】55分。解:甲比乙多跑500米，应比乙多休息2次，即2分。在甲多休息的2分内，乙又跑了200米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑500＋200＝700(米)，甲跑步的时间为 700÷(120－100)＝35(分)。共跑了120×35＝4200(米)，中间休息了4200÷200－1＝20(次)，即20分。所以甲第一次追上乙需35＋20＝55(分)

【答案】55 分

【例 37】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练:他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，创人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的2/3.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3:乙跑第二圈时速度提高了1/5已知跑看从甲乙人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?

【解析】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，

乙跑第二圈的速度为12/5如下图:

第一次相遇地点逆时针方向距出发点3/5的跑道长度，有甲回到出发点时，乙才跑了2/3的跑道长度。在乙接下来跑了3⅓，跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了3⅓÷2×4＝2/3圈。所以还剩下1/3的跑道长度，甲以4的速度，乙以12/5的速度相对而跑，所以乙地了3⅓×［12/5÷（4＋12/5）］＝1/8圈,也就是第二次相遇点，逆时针方向距出发点9/8圈。即第一次相通点与第二次相遇点相差3/5－1/8＝19/40圈，所以。这条椭圆形跑道的长度为190÷19/40≈400米。

【答案】400米

【例39】一条环形道路。周长为2千米甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑，已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时 20千米，请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点。那么环行2周最少要用多少分钟?

【解析】如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间1/20；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为:［1/5－1/20］：［1/4－1/20］＝3:4，而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等，于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为 4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为 4:3:3，因为有3人，2辆合行车，所以，始终有人在步行。甲、乙、丙步行路程和等子环形道路的周长。于是，甲步行的距离为2×4/（4＋3＋3）＝0.8千米;则骑车的距离为2×2－0.8＝3.2千米:所以甲需委时间为（0.8/5＋3.2/20）×60＝19.2分钟，环形两周的最短时间为19.2分钟，参考方法如下:甲先步行0.8 千米，再骑车3.2 千米:乙先骑车 2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6 千米(丙留下的自行东)，丙先骑车3.4千米，再步行 0.6千米。

【答索】19.2分钟