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在数学中， 极线通常是一个适用于二次曲线的概念。过不在二次曲线上的一点P作直线l交二次曲线于M、N两点，则在l上有且只有一点Q，使得(PQ，MN)=-1（即P、Q、M、N构成一调和点列）。当l绕着P旋转时，Q的轨迹是一条直线p（或一部分），这条直线p叫做点P关于二次曲线的极线(polar)，而P叫做p关于该曲线的极点(pole)。中文名极线外文名polar应用领域数理科学快速导航 极线的几何性质二次曲线的中心和直径反演变化中的极线 定义在定义极线之前，先介绍两点关于二次曲线调和共轭的概念。调和共轭过不在二次曲线C上的一点P作直线l交二次曲线于M、N两点，则由交比的性质可知，在直线l上有且只有一点Q，使(PQ，MN)=-1。我们把Q叫做P关于二次曲线C的调和共轭点，或称P、Q关于二次曲线C调和共轭。显然，点P的调和共轭点有无穷多个，且若Q是P关于二次曲线C的调和共轭点，则P也是Q关于C的调和共轭点，即P、Q互为调和共轭点。几何定义点P关于二次曲线C的调和共轭点Q的轨迹是一条直线，这条直线叫做点P关于二次曲线C的极线，而P叫做这条直线的极点。注意：这个定义中要求P不在曲线C上，若不然，则P与M或N重合。不妨设P与M重合，那么。而当P在曲线C上时，从下面极线方程的推导结果来看，可知方程形式与过P点的切线方程完全相同，所以规定当P在曲线C上时，它的极线就是过它的切线。极线方程为了证明Q的轨迹是一条直线，在此使用齐次坐标来证明。在齐次坐标下，任意一条二次曲线C的方程总可以写成以下形式：设定点P(p1,p2,p3)，动点Q(q1,q2,q3)，类比直线系方程，直线PQ上任意一点（除P外）的坐标可写成(q1+kp1,q2+kp2,q3+kp3)。联立C的方程，整理得：设方程的解为k1、k2，对应点M(q1+k1p1,q2+k1p2,q3+k1p3)和N(q1+k2p1,q2+k2p2,q3+k2p3)，则。因P和Q关于C共轭，上式比值为-1，即有k1+k2=0根据韦达定理可知，联立后的方程的一次项系数为0，所以有整理得即点Q的坐标(q1,q2,q3)满足上述方程，因此Q的轨迹是一条直线。习惯上用(x1,x2,x3)表示动点的坐标，所以点P(p1,p2,p3)关于二次曲线C的极线方程MN为若只考虑有穷远点，则x3≠0。令，曲线C的方程化为其中，这是我们熟知的二次曲线的一般方程。再令，则P的直角坐标为(x0,y0)。将这些数量关系代入求得的齐次坐标下的极线方程中，得直角坐标下点P(x0,y0)关于曲线C：的极线方程为代数定义对于二次曲线C：，我们也可以直接定义直线MN：叫做点P(p1,p2,p3)关于二次曲线C的极线，P叫做MN的极点。可以证明代数定义和几何定义是等价的。极线的几何性质1.射影平面内的任意一点对于固定的二次曲线C，有且只有一条极线。反之，射影平面内的任意一条直线对于固定的二次曲线C，有且只有一个极点。这可以由定义直接推导出来。2.（配极原则）对于同一条二次曲线C，如果点P的极线经过点Q，那么点Q的极线经过点P。反之，如果直线p的极点在直线q上，那么直线q的极点在直线p上。点P(p1,p2,p3)关于二次曲线C：的极线方程为由于点Q(q1,q2,q3)在极线上，得到将该方程稍作整理，可以得到即P的坐标满足Q的极线方程，定理的前半部分得证。再设p的极点为P，q的极点为Q。根据已知条件，P在q上，即点Q的极线经过点P，那么点P的极线也经过点Q，即Q在p上，定理后半部分得证。3.两点连线的极点是这两点的极线的交点；两直线交点的极线是这两直线的极点的连线。设有两点A、B，各自的极线交于C，则根据配极原则，C在A的极线上⇒A在C的极线上。同理，B在C的极线上。由两点确定一条直线可知AB是C的极线，即C是AB的极点。类似可证后者。从这个性质中可以知道，对于二次曲线上两个点，过这两点的切线的交点的极线即这两点的连线。[1]所以有时候也利用这个性质来定义曲线外一点P的极线。4.设四边形ABCD内接于二次曲线，则对角线交点P的极线是两组对边交点的连线。设两组对边AB、CD和AD、BC的交点分别为M、N，连接PM交BC、AD于E、F。由完全四点形的调和性可知(AD,NF)=(BC,NE)=-1，因此E和F都是N关于曲线的调和共轭点，所以直线EF，即直线PM是N关于曲线的极线。同理，PN是M关于曲线的极线。由配极原则，点M和N的极线都经过P，所以点P的极线经过M、N，即P的极线是MN，定理得证。我们也可以把这个性质作为在曲线内的点P的极线的定义。[2]二次曲线的中心和直径将二次曲线C放在仿射平面（即一般的欧氏平面加上一条无穷远直线）中，则无穷远直线关于C的极点O叫做C的中心，而无穷远点关于C的极线叫做C的直径。由于仿射平面上只有一条无穷远直线，所以C的中心也只有一个。但无穷远点有无数个，所以C的直径也有无数条。根据配极原则，无穷远点通过中心O的极线（即无穷远直线），所以O也通过无穷远点的极线，即直径必定经过中心O。这也可以作为直径的定义。设曲线C的一条直径AB与无穷远直线相交于P，则P关于曲线C的极线A'B'叫做AB的共轭直径。反演变化中的极线在反演变换中，如果反演中心为O，P点经过反演变换后得到P'，则过P'垂直PO（O、P、P'共线）的直线称为P点的极线(polar)，P称为该直线的极点(pole)。实际上,这个定义同前面圆锥曲线的极线和极点是一致的,只是这里的圆锥曲线取为这个反演变换的反演圆。[3] |
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